2017年考研数学三真题难点解析与常见问题应对

2017年的考研数学三真题在考察范围和难度上都有所提升，不少考生在答题过程中遇到了各种难题。本文将结合真题中的重点题型，解答考生们普遍关心的几个问题，帮助大家更好地理解考点和答题技巧。

常见问题及解答

问题一：关于概率论中的贝叶斯公式应用

在2017年数学三真题中，有一道关于贝叶斯公式的应用题，很多考生在理解题意和列式上遇到了困难。贝叶斯公式是概率论中的重要工具，它主要用于计算条件概率。具体来说，假设有事件A和B，贝叶斯公式可以表示为P(AB) = P(BA) P(A) / P(B)。在应用过程中，考生需要准确理解题意，找出题目中的事件对应关系，并正确列出条件概率和全概率公式。

举个例子，假设某工厂生产的产品分为合格品和次品，合格品率为90%，次品率为10%。现从该工厂的产品中随机抽取一件，发现是合格品，求这件产品是第一车间生产的概率。假设第一车间生产的产品占全部产品的60%，且第一车间的产品合格率为95%。要解答这个问题，我们可以使用贝叶斯公式，首先确定事件A为“产品是第一车间生产的”，事件B为“产品是合格品”。根据题目给出的数据，P(A) = 0.6，P(BA) = 0.95，P(B) = 0.9。代入贝叶斯公式，得到P(AB) = 0.6 0.95 / 0.9 ≈ 0.633。因此，这件合格品是第一车间生产的概率约为63.3%。

问题二：线性代数中的特征值与特征向量计算

线性代数是考研数学三的重点内容之一，特征值与特征向量的计算是常见的考点。很多考生在计算过程中容易出错，主要是对概念理解不透彻，或者计算步骤不清晰。特征值与特征向量是线性变换的重要性质，特征值表示线性变换在某个方向上的伸缩比例，而特征向量则是保持方向不变的向量。

在计算特征值与特征向量时，首先需要求出矩阵的特征多项式，即det(A λI)，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。将特征多项式设为0，解出λ的值，即为矩阵的特征值。接下来，对于每个特征值λ，解方程(A λI)x = 0，求出非零解x，即为对应的特征向量。

例如，给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求其特征值与特征向量。首先计算特征多项式：det(A λI) = det([[1-λ, 2], [3, 4-λ]]) = (1-λ)(4-λ) 6 = λ2 5λ 2。将特征多项式设为0，解得λ2 5λ 2 = 0，解这个二次方程，得到两个特征值λ1 ≈ 5.791和λ2 ≈ -0.791。接下来，分别代入(A λI)x = 0，求出对应的特征向量。对于λ1 ≈ 5.791，解得特征向量x1 ≈ [[0.707, -0.707]]；对于λ2 ≈ -0.791，解得特征向量x2 ≈ [[0.707, 0.707]]。

问题三：微积分中的多元函数极值问题

微积分是考研数学三的另一大板块，多元函数的极值问题是其中的重点难点。很多考生在求解过程中容易忽略必要条件或充分条件，导致答案错误。多元函数的极值问题通常涉及求函数的驻点和判断其是否为极值点。

求解多元函数的极值问题，一般步骤如下：首先求出函数的偏导数，然后解方程组?f/?x = 0和?f/?y = 0，求出所有驻点。接下来，需要判断这些驻点是否为极值点，通常使用二阶偏导数检验法。具体来说，计算二阶偏导数?2f/?x2、?2f/?y2和?2f/?x?y，然后计算判别式D = (?2f/?x2)(?2f/?y2) (?2f/?x?y)2。如果D > 0且?2f/?x2 > 0，则该驻点为极小值点；如果D > 0且?2f/?x2 < 0，则该驻点为极大值点；如果D < 0，则该驻点不是极值点。

例如，给定函数f(x, y) = x2 + 2xy + y2 4x + 4y，求其极值。首先求偏导数：?f/?x = 2x + 2y 4，?f/?y = 2x + 2y + 4。解方程组2x + 2y 4 = 0和2x + 2y + 4 = 0，发现无解，说明该函数没有驻点。因此，该函数没有极值点。