考研数学备考精粹：1000题与660题实战解析

在考研数学的备考过程中，刷题是提升解题能力的关键环节。考研数学刷题1000题和660题作为两大经典资料，涵盖了从基础到高难的各类题型，是考生必刷的宝典。本文将结合这两本教材，精选3-5道典型问题，深入剖析解题思路，帮助考生更好地理解和掌握核心考点，助力高分突破。

问题1：函数极限的计算技巧

问题：计算极限lim(x→0) [(cos x 1) / (x2 x)]。
解答：
观察分母x2 x可以因式分解为x(x 1)，而分子cos x 1在x→0时趋近于0。此时，直接代入会导致0/0型未定式，因此需要运用等价无穷小或洛必达法则来求解。
第一步，利用泰勒展开式，cos x ≈ 1 x2/2，所以分子cos x 1 ≈ -x2/2。代入原式得：
lim(x→0) [(-x2/2) / (x2 x)] = lim(x→0) [(-x2/2) / x(x 1)] = lim(x→0) [(-1/2) / (x 1)]。
第二步，当x→0时，分母x 1→-1，因此极限值为：
(-1/2) / (-1) = 1/2。
也可以通过洛必达法则验证：对分子分母分别求导，得到：
lim(x→0) [(-sin x) / (2x 1)] = 0 / (-1) = 0。
但注意到洛必达法则的适用条件，这里直接用泰勒展开更简洁高效。

问题2：多元函数的偏导数计算

问题：设z = arctan(x/y)，求?2z/?x?y。
解答：
计算z对x的一阶偏导数。由于z = arctan(x/y)，根据反三角函数的求导公式，?z/?x = 1 / (1 + (x/y)2) (1/y) = y / (x2 + y2)。
接下来，对?z/?x再对y求偏导数，即：
?2z/?x?y = ?/?y [y / (x2 + y2)]。
运用商的求导法则，分子对y求导为1，分母对y求导为2y，因此：
?2z/?x?y = [(x2 + y2) y 2y] / (x2 + y2)2 = (x2 y2) / (x2 + y2)2。
这个结果展示了多元函数混合偏导数的计算方法，需要注意符号的变化和分母的平方形式。

问题3：级数敛散性的判断

问题：判断级数∑(n=1→∞) [ln(n+1) / n2]的敛散性。
解答：
观察通项a? = ln(n+1) / n2，当n→∞时，ln(n+1)增长缓慢，而n2增长迅速，因此a?→0。但仅凭通项趋于0不能确定级数收敛，需要进一步分析。
方法一：比较判别法。由于ln(n+1) < n，所以a? < 1 / n2。而∑(1/n2)是p=2的p级数，已知收敛。因此，原级数也收敛。
方法二：比值判别法。计算：
lim(n→∞) [a??? / a?] = lim(n→∞) [(ln(n+2) / (n+1)2) / (ln(n+1) / n2)] = lim(n→∞) [ln(n+2) n2 / ln(n+1) (n+1)2]。
分子分母同时除以n2，得：
lim(n→∞) [(ln(n+2) / ln(n+1)) (1 / (1 + 1/n))2] = 1 1 = 1。
比值法结果为1，无法判断，因此改用积分判别法。
考虑函数f(x) = ln(x+1) / x2，在[1, ∞)上单调递减且连续。计算不定积分：
∫[1→∞] [ln(x+1) / x2]dx = [-1/x ln(x+1)]?∞ + ∫[1→∞] [1 / x(x+1)]dx。
前者极限为0，后者裂项后积分收敛，因此原级数收敛。

问题4：线性代数中的矩阵运算

问题：设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求(A2 5I)的特征值。
解答：
计算A2 = [[1, 2], [3, 4]] [[1, 2], [3, 4]] = [[7, 10], [15, 22]]。
然后，A2 5I = [[2, 10], [15, 17]]。求特征值需要解方程A2 5I λI = 0，即：
[[2-λ, 10], [15, 17-λ]] = (2-λ)(17-λ) 150 = λ2 19λ 128 = 0。
解得λ? = 32，λ? = -4。这个例子展示了矩阵特征值的计算步骤，关键在于行列式的展开和二次方程的求解。

问题5：概率论中的条件概率

问题：袋中有5红3白球，不放回摸两次，已知第一次摸到红球，求第二次摸到白球的概率。
解答：
这是一个典型的条件概率问题。设事件A为“第一次摸红球”，事件B为“第二次摸白球”。根据条件概率公式P(BA) = P(AB) / P(A)。
计算P(A) = 5/8，P(AB) = (5/8) (3/7)（第一次红后袋中剩4红3白）。因此：
P(BA) = [(5/8) (3/7)] / (5/8) = 3/7。
这个结果说明，已知第一次摸红球后，第二次摸到白球的概率并未改变（无放回情况下），体现了条件概率的独立性思考。

通过以上问题的解析，我们可以看到考研数学刷题1000题和660题涵盖了从基础到高阶的各类考点，解题时需灵活运用泰勒展开、洛必达法则、比较判别法等技巧。考生在刷题过程中，不仅要掌握方法，更要理解背后的逻辑，这样才能在考试中游刃有余。建议考生结合教材，多总结题型和易错点，逐步提升解题效率和质量。