考研数学求极限必做100题答案精选解析与常见误区

在考研数学的备考过程中，极限是极其重要的一个章节，也是考生们普遍感到头疼的部分。为了帮助广大考生更好地理解和掌握极限的解题技巧，我们精心整理了《考研数学求极限必做100题》的答案解析，并针对其中常见的错误和难点进行了详细的解答。这些题目不仅覆盖了极限的基础概念，还包含了各种复杂的题型和技巧，是考生们在冲刺阶段不可多得的参考资料。

常见问题解答

问题1：如何快速判断一个极限是否存在？

在考研数学中，判断一个极限是否存在是一个常见的问题。通常情况下，我们可以通过多种方法来判断，比如利用极限的定义、夹逼定理、洛必达法则等。但是，很多考生在解题时容易陷入误区，比如直接套用洛必达法则而不考虑其适用条件，或者忽略夹逼定理中的等价无穷小替换。因此，在解题时，考生需要结合具体的题目特点，灵活运用不同的方法。

举个例子，比如求极限 lim (x→0) (sinx x)/x2，很多考生会直接使用洛必达法则，得到 lim (x→0) (cosx 1)/(2x)，然后再继续使用洛必达法则。但实际上，这个极限可以直接使用等价无穷小替换，因为当 x→0 时，sinx x 等价于 -x3/6，所以原极限可以简化为 lim (x→0) (-x3/6)/x2 = lim (x→0) -x/6 = 0。这样不仅简化了计算，还避免了不必要的复杂步骤。

问题2：在求极限时，如何正确使用洛必达法则？

洛必达法则是求极限时非常常用的一种方法，但很多考生在使用时容易犯错误。洛必达法则的适用条件是，当极限形式为 0/0 或 ∞/∞ 时，才可以使用。如果极限形式不是这两种，直接使用洛必达法则会导致错误的结果。

比如求极限 lim (x→0) (ex 1)/x，很多考生会直接使用洛必达法则，得到 lim (x→0) ex/1 = 1。但实际上，这个极限可以直接使用等价无穷小替换，因为当 x→0 时，ex 1 等价于 x，所以原极限可以简化为 lim (x→0) x/x = 1。这样不仅简化了计算，还避免了不必要的复杂步骤。

问题3：在求极限时，如何处理无穷小量的替换？

无穷小量的替换是求极限时非常常用的一种技巧，但很多考生在替换时容易出错。无穷小量的替换需要满足一定的条件，比如当 x→0 时，sinx 等价于 x，ex 1 等价于 x，1 cosx 等价于 x2/2 等。如果替换时忽略了这些条件，会导致错误的结果。

比如求极限 lim (x→0) (sinx x)/x3，很多考生会直接使用 sinx 等价于 x，得到原极限等于 lim (x→0) (x x)/x3 = 0。但实际上，这个极限需要使用更高阶的等价无穷小替换，因为当 x→0 时，sinx x 等价于 -x3/6，所以原极限可以简化为 lim (x→0) (-x3/6)/x3 = -1/6。这样不仅得到了正确的结果，还避免了不必要的错误。