2018年考研数学一真题难点解析与备考建议

2018年的考研数学一真题在难度和题型上都有一定的创新性，不少考生在考后反映某些题目较为棘手。本文将针对真题中的几道典型题目进行深入解析，并提供相应的解题思路和备考建议，帮助考生更好地理解考点、掌握方法。以下内容将围绕几道重点题目展开，力求解答详尽且贴近考生实际需求。

常见问题解析

问题一：2018年数学一真题第3题的积分技巧如何运用？

这道题考察的是定积分的计算技巧，具体涉及分段函数和换元法的结合应用。题目中给出的被积函数较为复杂，包含绝对值符号和三角函数，不少考生在处理这类问题时容易遗漏分段讨论或换元不彻底。解答这类问题的关键在于：首先明确积分区间，然后根据函数特性进行分段处理，最后利用换元法简化积分表达式。例如，对于含绝对值的积分，需先找出绝对值内函数的零点，从而将积分拆分为多个子区间分别计算。同时，换元时要注意变量替换后的微分关系和积分限的调整。下面以具体题目为例进行解析：

设函数f(x) = x-1 + sin(x)，计算∫₀²f(x)dx。正确做法是：先分段处理x-1，得到f(x) = x-1（x∈[0,1]）和f(x) = x+1（x∈[1,2]），然后拆分积分并分别计算。接着，利用三角函数的周期性和对称性，通过换元法进一步简化积分过程。这种方法的难点在于对函数特性的敏感度，需要考生具备较强的分析能力。备考时，建议多练习类似题型的训练，熟练掌握分段积分和换元法的组合应用。

问题二：第8题的微分方程求解有哪些易错点？

这道题涉及二阶常系数非齐次微分方程的求解，是考研数学中的常见考点。然而，不少考生在解题过程中容易犯以下错误：一是特征方程与特解的对应关系混淆，二是非齐次项的选取不当导致特解形式错误。解答这类问题的关键在于：准确写出对应的特征方程，并根据非齐次项的形式选择合适的特解形式。例如，若非齐次项为指数函数，特解形式应为指数函数乘以待定系数；若为多项式，则特解形式需比原多项式高一次。考生还需注意齐次方程通解与特解的叠加原理。下面以具体题目为例进行解析：

已知y''-3y'+2y = e^2xx²，求通解。正确做法是：先求解对应的齐次方程y''-3y'+2y=0，特征方程为r²-3r+2=0，解得r₁=1，r₂=2，故齐次通解为y^h=C₁e^x+C₂e^2x。然后根据非齐次项形式，设特解y^p=(Ax²+Bx+C)e^2x，代入原方程确定A、B、C的值。特别要注意的是，当非齐次项与齐次解重复时，需在特解形式中乘以x的适当幂次。这种方法的难点在于对微分方程理论的深入理解，需要考生掌握特征方程与特解形式的对应规律。备考时，建议多练习不同非齐次项形式的微分方程，总结常见题型和解题技巧。

问题三：第10题的级数收敛性判别有哪些技巧？

这道题考察的是交错级数和绝对收敛性的判别，是考研数学中的重点难点。不少考生在解题过程中容易忽略级数特性的全面分析，导致判别错误。解答这类问题的关键在于：首先判断级数类型，然后选择合适的判别方法，最后验证条件是否满足。例如，对于交错级数，需验证Leibniz判别法的条件；对于一般级数，则可能需要结合比值判别法、根值判别法等。下面以具体题目为例进行解析：

判断级数∑_n=1^∞(-1)ⁿ/(nln(n+1))的收敛性。正确做法是：首先识别这是交错级数，然后验证Leibniz判别法的两个条件：①a_n=1/(nln(n+1))单调递减，②lim_n→∞a_n=0。对于第一个条件，可通过导数分析或作图验证；第二个条件则通过洛必达法则计算极限得到。若两个条件都满足，则级数条件收敛。考生还需考虑绝对收敛性，即判断∑_n=1^∞a_n的收敛性。这种方法的难点在于对级数判别法的灵活运用，需要考生掌握不同方法的适用场景。备考时，建议多练习不同类型级数的判别，总结常见题型和解题步骤。