张宇老师考研数学二重点难点深度解析
考研数学二作为选拔性考试，难度系数较高，考生普遍反映部分知识点理解难度大、解题技巧性强。张宇老师凭借其深厚的数学功底和独特的教学风格，在考研数学二领域积累了丰富的教学经验。本栏目精选张宇老师常见问题，从高数、线代、概率三大模块出发，结合历年真题考点，深入剖析解题思路，帮助考生突破学习瓶颈。所有问题均附有详细解答，力求做到通俗易懂、逻辑清晰，适合不同基础阶段的考生参考学习。
问题一：定积分的应用题如何快速确定积分变量和积分区间？
定积分的应用题是考研数学二的常考点，很多同学在确定积分变量和积分区间时感到困惑。其实，这类问题只要掌握几个关键步骤，就能迎刃而解。要明确积分对象是“一线段”还是“一平面图形”，如果是平面图形，要画出示意图，标出关键点。根据题目中的等量关系，选择合适的积分变量，比如求面积时，如果图形边界方程复杂，通常选择垂直于某条边的方向作为积分变量。根据图形特点确定积分区间，记住要“从左往右”或“从下往上”扫描。举个例子，比如求抛物线y=ax2与直线y=kx相交围成的面积，可以先解方程组求交点，然后根据图形对称性或边界特点选择积分区间[-b, b]，其中b为交点横坐标的绝对值。张宇老师强调，多练习历年真题，总结常见题型，就能逐步掌握解题技巧。
问题二：反常积分敛散性判别有哪些常用方法？
反常积分敛散性是考研数学二的高频考点，也是很多同学的难点。张宇老师总结了几种常用判别方法，帮助考生快速准确判断。第一种是直接比较法，即通过放缩将被积函数与已知敛散性的简单函数比较。比如∫(1/x3)dx在x→0时，可以与∫(1/x2)dx比较，因为后者在x=0处发散，所以前者也发散。第二种是极限比较法，适用于被积函数含有参数的情况，通过计算极限判断与基准函数的敛散性关系。第三种是比值判别法，特别适用于含有参数的指数型或三角函数型积分。第四种是绝对收敛判别法，即先判断绝对值积分的敛散性，若绝对收敛则原积分收敛。要注意反常积分的线性性质，即若a、b、c为常数，则∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx。张宇老师提醒，做题时要灵活运用多种方法，不要拘泥于某一种，这样才能提高解题效率。
问题三：级数求和时如何快速找到通项公式？
级数求和是考研数学二的难点之一，很多同学在寻找通项公式时无从下手。张宇老师建议从三个角度入手：首先观察级数特点，比如等差、等比数列或其变形，可以直接套用公式；其次考虑部分和Sn，通过求导、错位相减等方法寻找规律；最后利用泰勒级数或傅里叶级数展开式，特别是对于三角级数求和。举个例子，求级数1-2+3-4+...的n项和，可以先分组求和，发现每两项和为-1，但当n为奇数时多出一项，所以Sn=-[n/2]+(-1)n。再比如求级数∑(n/(n+1)!)，可以将其转化为e-1∑(1/n!)，利用泰勒级数展开式求解。张宇老师特别强调，做题时要善于总结规律，比如遇到数列项正负交错时，通常需要拆项或分组；遇到分式项时，可以考虑通分或分子有理化。多练习不同类型的级数求和题，就能逐渐掌握解题技巧。