考研数学每日一题：极限计算中的关键技巧与常见误区

考研数学中，极限计算是每年考生必考的重点和难点。它不仅考查基础概念，还涉及多种解题技巧和易错点。为了帮助大家更好地掌握这一部分，我们精心准备了每日一题，通过免费讲解和互动，让大家在实践中提升能力。今天我们就来探讨几个典型的极限问题，看看如何运用洛必达法则、等价无穷小替换等方法，以及如何避免常见的计算陷阱。

问题1：计算极限lim (x→0) (ex 1 x)/x2

这道题看似简单，但很多考生在计算过程中容易出错。我们注意到分子是一个关于x的函数，分母是x的平方。直接代入会得到0/0的形式，这时可以考虑使用洛必达法则。

根据洛必达法则，我们需要对分子和分母分别求导。分子的导数是ex 1，分母的导数是2x。再次代入x=0，得到(e0 1)/2×0 = 0/0，依然无法直接计算。于是我们再次使用洛必达法则，对分子和分母再次求导。分子的导数是ex，分母的导数是2。现在代入x=0，得到(e0)/2 = 1/2。

所以，lim (x→0) (ex 1 x)/x2 = 1/2。但要注意，并不是所有0/0形式的极限都能直接使用洛必达法则。有些情况下，我们需要先进行化简，比如通过等价无穷小替换，或者将函数展开成泰勒级数。

问题2：计算极限lim (x→1) [(x-1)2/(x2 1)] sin(πx)

这道题涉及到了两个函数的乘积，一个是关于x的代数式，另一个是三角函数。我们来看代数式部分。当x→1时，(x-1)2和(x2 1)都趋近于0，所以分子分母都有可能为0，这是一个0/0的形式。

为了简化计算，我们可以将分母进行因式分解，得到(x-1)(x+1)。现在，代数式可以写成(x-1)2/(x-1)(x+1) = (x-1)/(x+1)。当x→1时，这个表达式趋近于0/2 = 0。

接下来，我们来看三角函数部分。当x→1时，sin(πx)会oscillate between -1 and 1。但是，由于我们已经知道代数式部分趋近于0，所以整个表达式的极限为0乘以任何有限数（包括sin(πx)的值）都是0。

因此，lim (x→1) [(x-1)2/(x2 1)] sin(πx) = 0。

问题3：计算极限lim (x→0) [ln(1+2x) 2sin(x)]/x3

这道题同样是一个0/0的形式，我们可以考虑使用洛必达法则。对分子求导，得到1/(1+2x) 2 2cos(x)。分母的导数是3x2。代入x=0，得到(2-2)/0 = 0/0，依然无法直接计算。

因此，我们需要再次使用洛必达法则。对分子再次求导，得到-4/(1+2x)2 + 2sin(x)。分母的导数是6x。现在代入x=0，得到(-4+0)/0 = -4/0，这是一个不确定的形式，但我们可以继续化简。

注意到当x→0时，(1+2x)2会趋近于1，所以-4/(1+2x)2会趋近于-4。而2sin(x)/6x会趋近于2/6 = 1/3。因此，整个表达式的极限为-4 + 1/3 = -11/3。

所以，lim (x→0) [ln(1+2x) 2sin(x)]/x3 = -11/3。这个例子告诉我们，在计算极限时，需要灵活运用各种方法，并根据具体情况选择最合适的方法。