考研数学每日一题精解：函数极限与连续性深度剖析

在考研数学的备考过程中，函数的极限与连续性是核心考点之一，也是许多考生容易混淆的知识点。每日一题的形式能够帮助考生逐步巩固基础，提升解题能力。本栏目精选了3-5道典型例题，涵盖极限的计算、连续性的判定以及相关性质的应用，并附有详细解析和常见问题解答，帮助考生全面理解这一模块的难点和重点。

例题解析与常见问题解答

问题1：如何计算函数的极限？

计算函数极限的基本方法包括直接代入、因式分解、有理化、洛必达法则等。例如，计算极限 lim (x→2) (x2-4)/(x-2) 时，直接代入会得到0/0型未定式，此时可以通过因式分解简化为 lim (x→2) (x+2) = 4。在应用洛必达法则前，必须确保极限形式为0/0或∞/∞，且分子分母的导数存在。

常见问题：为什么有时候洛必达法则不适用？

解答：洛必达法则适用于未定式极限，但并非所有未定式都能直接应用。例如，当极限形式为1∞、00或∞0时，需要先通过取对数转化为其他形式。若分子分母的导数极限不存在或不趋于无穷大，则法则失效。例如，lim (x→0) (sin x)/x，虽然形式为0/0，但直接求导后极限仍为0/1，此时直接代入即可得到1，无需洛必达法则。

问题2：如何判断函数的连续性？

判断函数在某点是否连续，需要验证三点：函数在该点有定义、极限存在且极限值等于函数值。例如，函数f(x) = {x2, x≤1; 2x, x>1