2020年考研数学一第18题核心考点与易错点深度解析

2020年考研数学一第18题是一道涉及定积分与反常积分综合应用的典型题目，考察了考生对反常积分收敛性判断、积分计算技巧以及函数性质理解的掌握程度。题目不仅综合性强，而且容易在反常积分的拆分与比较过程中出现失误，是许多考生容易失分的关键点。

常见问题与解答

问题1：如何正确判断反常积分的收敛性？

反常积分的收敛性判断是本题的核心难点。要明确反常积分收敛的定义：若函数在无穷远处或无穷小区间内无界，需通过极限判断积分是否存在。对于本题中的积分，应先将其拆分为两个部分分别判断。具体来说，可以通过比较审敛法或极限审敛法来判断。例如，对于形如∫_a^∞ f(x) dx的反常积分，若存在常数c使得f(x) ≤ c/g(x)，且∫_a^∞ g(x) dx收敛，则原积分收敛。考生在解题时容易忽略拆分积分后的每一部分都需要单独判断，导致结论错误。

问题2：积分计算过程中如何避免符号错误？

本题涉及反常积分的计算，符号处理是常见错误点。在计算过程中，考生需要特别注意以下几点：反常积分的拆分后，每一部分的积分上限和下限必须明确标示；在计算不定积分时，要确保结果中包含积分常数，并在最终结果中将其合并；当积分区间包含无穷大时，需先通过极限转换为有限区间再计算。例如，本题中若直接将积分写为∫₁² 1/(xlnx) dx，容易忽略lnx在x=1处的行为，导致计算错误。正确做法是先判断反常积分在x=1处的发散性，再通过换元法如令u=lnx进行计算。

问题3：反常积分与定积分的关系如何处理？

本题还考察了反常积分与定积分的区别与联系。许多考生在解题时会混淆两者概念，导致错误。反常积分本质上是定积分的极限推广，但在计算时需注意反常积分的收敛性前提。例如，定积分∫₁² 1/x dx是存在的，但反常积分∫₁² 1/(xlnx) dx由于lnx在x=1处趋近于负无穷，导致被积函数无界，属于反常积分。考生在解题时需明确区分，若题目未说明收敛性，需先通过极限验证。反常积分的线性性质（如可拆分、可加减）与定积分相同，但在拆分时每一部分都必须收敛，这一点是许多考生容易忽略的关键点。