考研数学每日一题：函数零点与导数应用深度解析

在考研数学的备考过程中，函数零点与导数应用是两个核心考点，也是许多考生容易混淆的知识点。为了帮助大家更好地理解和掌握，我们每天精选一道典型例题，通过详细的解析和解答，帮助考生理清思路，提升解题能力。这些题目覆盖了考研数学中常见的题型和考点，适合考生在日常复习中巩固和提升。通过每日一题的练习，考生可以逐步培养对数学问题的敏感度，增强解题的自信心。

例题精选与解答

问题1：已知函数f(x) = x3 3x2 + 2，求函数在区间[-1, 3]上的零点个数。

解答：我们需要找到函数f(x) = x3 3x2 + 2的导数f'(x)。通过求导，我们得到f'(x) = 3x2 6x。为了找到函数的极值点，我们需要解方程f'(x) = 0，即3x2 6x = 0。解这个方程，我们可以得到x = 0和x = 2。这两个点可能是函数的极值点。

接下来，我们需要判断这两个点是极大值点还是极小值点。我们可以通过第二导数来判断。计算f''(x) = 6x 6，然后分别代入x = 0和x = 2。当x = 0时，f''(0) = -6，说明x = 0是一个极大值点；当x = 2时，f''(2) = 6，说明x = 2是一个极小值点。

现在我们已经找到了函数的极值点，我们可以通过这些点来分析函数在区间[-1, 3]上的零点个数。我们计算f(-1)、f(0)、f(2)和f(3)的值。f(-1) = -1，f(0) = 2，f(2) = 0，f(3) = 2。根据这些值，我们可以看到函数在x = 2处有一个零点，而在区间[-1, 0]和[0, 3]之间，函数值从负到正再到负，说明在这两个区间内各有一个零点。

综上所述，函数f(x) = x3 3x2 + 2在区间[-1, 3]上有三个零点，分别在x = -1附近、x = 2和x = 3附近。

问题2：设函数g(x) = x4 4x3 + 3x2，求函数在区间[-1, 3]上的最大值和最小值。

解答：为了找到函数g(x) = x4 4x3 + 3x2在区间[-1, 3]上的最大值和最小值，我们需要先找到函数的导数g'(x)。通过求导，我们得到g'(x) = 4x3 12x2 + 6x。为了找到函数的极值点，我们需要解方程g'(x) = 0，即4x3 12x2 + 6x = 0。解这个方程，我们可以得到x = 0、x = 1/2和x = 3/2。

接下来，我们需要判断这三个点是极大值点还是极小值点。我们可以通过第二导数来判断。计算g''(x) = 12x2 24x + 6，然后分别代入x = 0、x = 1/2和x = 3/2。当x = 0时，g''(0) = 6，说明x = 0是一个极小值点；当x = 1/2时，g''(1/2) = -3，说明x = 1/2是一个极大值点；当x = 3/2时，g''(3/2) = 3，说明x = 3/2是一个极小值点。

现在我们已经找到了函数的极值点，我们可以通过这些点来分析函数在区间[-1, 3]上的最大值和最小值。我们计算g(-1)、g(0)、g(1/2)、g(3/2)和g(3)的值。g(-1) = 10，g(0) = 0，g(1/2) = 7/16，g(3/2) = 27/16，g(3) = 0。根据这些值，我们可以看到函数在x = -1处取得最大值10，在x = 0和x = 3处取得最小值0。

综上所述，函数g(x) = x4 4x3 + 3x2在区间[-1, 3]上的最大值为10，最小值为0。

问题3：已知函数h(x) = x3 3x2 + 2x，求函数在区间[-1, 3]上的单调区间。

解答：为了找到函数h(x) = x3 3x2 + 2x在区间[-1, 3]上的单调区间，我们需要先找到函数的导数h'(x)。通过求导，我们得到h'(x) = 3x2 6x + 2。为了找到函数的单调区间，我们需要解不等式h'(x) > 0和h'(x) < 0。解这个不等式，我们可以得到x < 1和x > 2时，h'(x) > 0，说明函数在区间(-∞, 1)和(2, ∞)上单调递增；x > 1和x < 2时，h'(x) < 0，说明函数在区间(1, 2)上单调递减。

由于我们关注的区间是[-1, 3]，我们可以进一步分析函数在区间[-1, 3]上的单调性。在区间[-1, 1]上，h'(x) > 0，说明函数在[-1, 1]上单调递增；在区间[1, 2]上，h'(x) < 0，说明函数在[1, 2]上单调递减；在区间[2, 3]上，h'(x) > 0，说明函数在[2, 3]上单调递增。

综上所述，函数h(x) = x3 3x2 + 2x在区间[-1, 3]上的单调递增区间为[-1, 1]和[2, 3]，单调递减区间为[1, 2]。