考研数二线性代数重点章节与常见问题解析

考研数二的线性代数部分主要涵盖矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等核心内容。这些章节不仅知识点密集，而且与高等数学、概率论等科目联系紧密，是考生备考的难点之一。本文将针对数二线性代数常考章节，整理出几个典型问题并详细解答，帮助考生梳理知识、突破重难点。

问题一：矩阵的秩如何计算？秩与线性方程组解的关系是什么？

矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，计算时常用行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的数量即为秩。秩与线性方程组解的关系体现在：（1）对于非齐次线性方程组Ax=b，若r(A)=r(Ab)=n（未知数个数），则方程组有唯一解；若r(A)=r(Ab)。例如，矩阵A经过行变换得到行阶梯形[B]，若B中非零行数为r，则r(A)=r。对于齐次线性方程组Ax=0，必有r(A)=r(A0)，此时解的个数由n-r决定。