考研数学证明题常见难点与突破策略

考研数学中的证明题一直是考生们的难点，不仅因为其逻辑性要求高，还因为很多考生缺乏系统的证明题训练。本文将针对常见的证明题问题，提供详细的解答思路和技巧，帮助考生更好地掌握这类题型。无论是极限、导数还是积分证明，都能从中找到实用的方法和注意事项。

问题一：如何证明函数在某区间内连续？

函数连续性的证明是考研数学中的常见考点，通常需要用到ε-δ定义或连续性的等价条件。明确函数在某点连续的定义：对于任意ε>0，存在δ>0，使得当x-x?<δ时，f(x)-f(x?)<ε。证明时，关键在于找到合适的δ与ε的关系。

例如，证明f(x)=x2在x=2处连续。根据定义，取ε>0，解不等式x2-4<ε，即x-2x+2<ε。由于x接近2，可以限制x在(1,3)内，此时x+2≤5。于是，只需取δ=min(1,ε/5)，就能满足条件。这个过程中，灵活运用不等式放缩和区间限制是关键技巧。

问题二：导数证明题中如何处理带绝对值的函数？

带绝对值的函数在导数证明中常引发困扰，核心是利用绝对值的分段性质。例如，证明f(x)=x在x=0处不可导。分别计算左右导数：左导数为lim(h→0-) -h/0=-1，右导数为lim(h→0+) h/0=1。由于左右导数不相等，得出结论。更一般地，对于f(x)=g(x)，当g(x)在x?处可导时，若g(x?)≠0，f(x)也可导；若g(x?)=0，需单独讨论。

在证明过程中，要注意绝对值定义的转换：u={u, u≥0; -u, u<0