考研数学基础通关题重点难点解析
考研数学作为选拔性考试的重要组成部分，其基础阶段的复习至关重要。本站精心整理了同学们在备考过程中最常遇到的5道典型题目，涵盖高等数学、线性代数和概率论三大模块的核心考点。每道题目不仅提供详细解答步骤，还附有方法总结和易错点提示，帮助考生夯实基础、提升解题能力。这些题目经过教研团队反复筛选，既有基础概念考察，也融入了部分进阶思维，适合所有备考阶段的考生参考学习。
问题一：求极限lim (x→0) (ex 1 x)/x2的值
这道题考察的是函数极限的计算方法，特别是对"ex"函数的泰勒展开式掌握程度。很多同学在解题时会陷入盲目使用洛必达法则的误区，而忽略了泰勒展开式的简化作用。正确解法应该从泰勒公式入手，将ex展开到x2项，再进行代数化简。这道题的难点在于如何把握展开的"度"，即只需要保留到x2项，更高阶的项可以直接忽略。
具体解答过程如下：
lim (x→0) (ex 1 x)/x2 = lim (x→0) [1 + x + x2/2! + o(x2) 1 x]/x2
= lim (x→0) [x2/2 + o(x2)]/x2
= lim (x→0) (1/2 + o(1)/x2)
当x→0时，o(1)/x2→0，所以最终结果为1/2。
这道题的解题关键在于灵活运用泰勒展开式，而非一味依赖洛必达法则。泰勒展开在处理指数函数、三角函数等复合函数极限时具有明显优势，建议考生熟练掌握常见函数的前三项展开式。
问题二：计算二重积分?D (x2+y2)/ (1+x2+y2) dxdy，其中D为圆域x2+y2≤1
这道题看似简单，实则暗藏玄机。不少同学会直接尝试直角坐标系计算，但很快会发现积分过程异常繁琐。正确解法应该优先考虑极坐标变换，这是考研数学中二重积分计算的常见技巧。难点在于被积函数中1+x2+y2项的处理，需要通过观察发现其与极坐标变换后的表达式存在巧妙关联。
具体解答过程如下：
令x=rcosθ，y=rsinθ，则dxdy=rdθdr，积分区域D变为0≤r≤1，0≤θ≤2π
原积分 = ∫?2π ∫?1 (r2)/(1+r2) r dr dθ
= ∫?2π ∫?1 (r3)/(1+r2) dr dθ
对r的积分采用换元法，令u=1+r2，du=2rdr
= ∫?2π ∫?2 (u-1)/2 du dθ
= ∫?2π (1/2[u2/2 u])?2 dθ
= ∫?2π (1/2[2 1 (1/2 1)]) dθ
= ∫?2π (1/2) dθ = π
这道题的解题关键在于极坐标变换中1+x2+y2=1+r2的转化，以及换元积分技巧的运用。建议考生熟练掌握常见函数的极坐标表达式，如x2+y2=r2，sin2θ+cos2θ=1等。
问题三：设线性方程组Ax=b，其中A为3×3矩阵，且r(A)=2，r(Ab)=3，求该方程组的通解
这道题考察的是线性方程组解的判定定理，是考研数学中的高频考点。很多同学会陷入计算行列式的误区，试图通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有解，但本题中A为非方阵，行列式方法直接失效。正确解法应该从矩阵的秩入手，根据r(A)和r(Ab)的关系判断解的存在性，并进一步求出通解。
具体解答过程如下：
由r(A)=2，r(Ab)=3，可知方程组无解。这是因为在有解的情况下，系数矩阵的秩必须等于增广矩阵的秩
但根据题目条件，增广矩阵比系数矩阵多一列，导致秩增加1，形成矛盾。因此该方程组无解。
虽然本题简单直接，但很多同学会误以为方程组有解，并试图通过计算自由变量来求解。实际上，当r(A)≠r(Ab)时，方程组必然无解，这是判断线性方程组解的存在性的根本依据。
问题四：计算不定积分∫ (x+1)/(x2+2x+5) dx
这道题看似复杂，实则考察的是有理函数积分的常见技巧。不少同学会盲目尝试分解因式，但发现分母无法分解为简单因式后束手无策。正确解法应该先对分母进行配方，转化为标准形式，再通过分子凑微分的方式简化积分。难点在于如何将分子拆分为分母的导数和常数项之和。
具体解答过程如下：
原积分 = ∫ (x+1)/(x2+2x+5) dx
= ∫ (x+1)/[(x+1)2+4] dx
令u=x+1，则du=dx，积分变为
= ∫ u/(u2+4) du
= 1/2 ∫ (2u)/(u2+4) du
= 1/2 ∫ d(u2+4)(1/2)
= 1/2 lnu2+4 + C
= 1/2 ln(x2+2x+5) + C
这道题的解题关键在于配方法和分子凑微分技巧。建议考生熟练掌握常见函数的积分公式，如∫ 1/(x2+a2) dx = 1/a arctan(x/a) + C，以及分母配方的技巧。
问题五：设f(x)连续，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，求证f(x)为线性函数
这道题看似简单，实则考察的是函数方程的求解技巧，是考研数学中的经典题型。很多同学会陷入计算导数的误区，试图通过求导来证明函数的线性性质，但忽略了函数连续这一重要条件。正确解法应该从函数方程入手，通过赋值法找出函数在特殊点的值，再结合连续性证明函数的整体性质。
具体解答过程如下：
首先令y=0，得到f(x)=f(x)+f(0)，因此f(0)=0
对任意x?，x?∈R，令y=x?-x?，则f(x?)=f(x?+y)=f(x?)+f(y)=f(x?)+f(x?-x?)
因此f(x?-x?)=f(x?)-f(x?)
令x?→x?，根据f(x)连续，得到f'(x)存在且等于f(x)
因此f(x)=Cex，其中C=f(1)
综上所述，f(x)为线性函数
这道题的解题关键在于赋值法和连续性条件的运用。建议考生熟练掌握常见函数方程的求解方法，如Cauchy函数方程、线性函数方程等，并注意挖掘函数连续这一隐含条件的作用。