考研数学每日一题：极限计算中的常见陷阱与应对策略

在考研数学的备考过程中，极限计算是考生们普遍感到困惑的一个知识点。娜姐根据多年的教学经验发现，很多同学在解题时容易陷入一些常见的误区，导致计算错误或思路卡壳。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，本栏目将每日推出一道极限计算题目，并详细解析解题过程中可能遇到的问题。通过娜姐的讲解，同学们可以学会如何识别并规避这些陷阱，提升自己的解题能力。

今日题目及解答

题目：计算极限 lim (x→0) (sin x x) / (x3)。

解题思路

这道题看似简单，但很多同学在计算时会直接套用洛必达法则，而忽略了其他更简便的方法。娜姐在这里给大家提供两种解题思路，帮助大家拓宽思维。

方法一：洛必达法则

我们观察到当 x→0 时，分子和分母都趋近于 0，这是一个 0/0 型的不定式，因此可以尝试使用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，对于 0/0 型或 ∞/∞ 型的不定式，可以通过对分子和分母分别求导来简化极限计算。

具体来说，我们对分子 sin x x 求导，得到 cos x 1；对分母 x3 求导，得到 3x2。于是原极限变为 lim (x→0) (cos x 1) / (3x2)。注意到 cos x 1 可以进一步化简为 -2sin2(x/2)，因此极限变为 lim (x→0) (-2sin2(x/2)) / (3x2)。

由于 sin(x/2) 在 x→0 时等价于 x/2，我们可以将 sin(x/2) 替换为 x/2，从而得到 lim (x→0) (-2(x/2)2) / (3x2) = -2/12 = -1/6。因此，原极限的值为 -1/6。

方法二：泰勒展开

除了洛必达法则，泰勒展开也是一种非常有效的方法。对于这道题，我们可以将 sin x 和 x 分别展开为泰勒级数。

sin x 的泰勒展开式为 x x3/6 + O(x5)，其中 O(x5) 表示高阶无穷小项。因此，sin x x = (x x3/6 + O(x5)) x = -x3/6 + O(x5)。

将这个结果代入原极限，得到 lim (x→0) (-x3/6 + O(x5)) / (x3) = lim (x→0) (-1/6 + O(x2)) = -1/6。

常见误区

在解题过程中，同学们需要注意以下几个常见误区：

通过娜姐的讲解，相信大家对极限计算有了更深入的理解。在备考过程中，多练习、多总结，才能更好地掌握这一部分内容。娜姐会持续为大家提供更多类似的题目和解析，帮助大家顺利通过考研数学考试。