2022考研数学二第17题深度解析与常见误区剖析

2022年考研数学二第17题以定积分的应用为载体，综合考查了曲线围成面积、旋转体体积及函数零点等知识点，题目设计巧妙，计算量较大，不少考生在作答时因思路不清或计算失误而失分。本文将结合考题特点，系统梳理解题关键，并针对考生易犯错误进行深度剖析，帮助大家更好地掌握此类问题的解题方法。

常见问题解答

问题1：如何准确理解题目的几何意义？

本题第（1）问要求计算由曲线y=√x与y=ln(1+x)及x轴围成的封闭图形面积。很多考生在作答时容易忽略曲线交点的确定，导致积分区间错误。正确做法是先通过联立方程组y=√x和y=ln(1+x)求出交点坐标（1,1），进而确定积分区间为[0,1]。由于函数y=√x在[0,1]上始终大于等于y=ln(1+x)，因此积分表达式应为∫₀¹（√x ln(1+x)）dx。部分考生因对函数图像理解不透彻，错误地将积分区间设为[0,2]，或遗漏对数函数的定义域限制，这些都是常见的失误点。

问题2：旋转体体积计算中，分部积分法如何正确应用？

第（2）问要求计算上述封闭图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积。不少考生在计算过程中直接套用公式V=π∫_a^b[f(x)]2dx，而忽略了被积函数的具体形式。正确解法应采用分段函数处理：当x∈[0,1]时，旋转体由外函数y=√x和内函数y=ln(1+x)的差值形成，因此体积公式应为V=π∫₀¹[(√x)2 (ln(1+x))2]dx。部分考生在计算（ln(1+x))2时因展开错误导致结果偏差，如误将ln(1+x)2写成2ln(1+x)等。分部积分时常见的错误还有忘记添加积分常数，或错误选择u(x)和dv的表达式。

问题3：数二特有的零点问题如何与定积分结合？

第（3）问考查的是函数零点与定积分的关系，题目要求证明方程√x ln(1+x) = 0在区间(0,2)内有唯一实根。部分考生直接使用零点存在性定理（连续函数在区间两端取异号值必有零点），却未能证明唯一性。正确证明需结合导数分析：设F(x)=√x ln(1+x)，则F'(x)=1/(2√x) 1/(1+x)。通过计算可知F'(x)在(0,2)上单调递减，且F'(1)=0，因此F(x)在x=1处取得极值。再结合F(0)=0，F(2)=√2-ln3>0，可证明方程在(1,2)内存在唯一解。考生易错点在于忽略极值点的存在性分析，或错误判断F(x)的单调性。