考研数学真题每日一练：攻克概率论与数理统计难点
考研数学的复习是一场持久战，尤其是概率论与数理统计部分，常常让考生感到头疼。为了帮助大家更好地掌握这部分知识，我们特意推出“每日一练”系列，通过精选真题，帮助考生逐个击破难点。每天一套题，不仅能够检验学习成果，还能培养解题思路。今天，我们就来聚焦概率论与数理统计中的常见问题，并给出详细的解答，让大家在实战中提升自己。
今日精选问题及解答
问题一：已知随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，求X和Y的边缘分布律以及协方差。
| Y=0 | Y=1 | |
|---|---|---|
| X=0 | 0.1 | 0.2 |
| X=1 | 0.3 | 0.4 |
解答：
我们需要求出X和Y的边缘分布律。边缘分布律可以通过联合分布律的边缘求和得到。
对于X的边缘分布律，我们将Y的每个取值对应的概率相加：
P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) = 0.1 + 0.2 = 0.3
P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 0.3 + 0.4 = 0.7
因此，X的边缘分布律为：
X ~ (0, 0.3; 1, 0.7)
接下来，我们求Y的边缘分布律，同样将X的每个取值对应的概率相加：
P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) = 0.1 + 0.3 = 0.4
P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) = 0.2 + 0.4 = 0.6
因此，Y的边缘分布律为：
Y ~ (0, 0.4; 1, 0.6)
接下来，我们需要求出X和Y的协方差。协方差的公式为：
cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y)
我们求E(X)和E(Y)：
E(X) = 0 P(X=0) + 1 P(X=1) = 0 0.3 + 1 0.7 = 0.7
E(Y) = 0 P(Y=0) + 1 P(Y=1) = 0 0.4 + 1 0.6 = 0.6
接下来，我们求E(XY)：
E(XY) = Σ[Σ[XY P(X=x, Y=y)]]
E(XY) = (0 0 0.1) + (0 1 0.2) + (1 0 0.3) + (1 1 0.4)
E(XY) = 0 + 0 + 0 + 0.4 = 0.4
我们求cov(X, Y)：
cov(X, Y) = 0.4 0.7 0.6 = 0.4 0.42 = -0.02
因此，X和Y的协方差为-0.02。
问题二：设随机变量X和Y相互独立，且X服从N(1, 4)，Y服从N(2, 9)，求随机变量Z = 2X 3Y的分布。
解答：
由于X和Y相互独立，且分别服从正态分布，我们可以利用正态分布的性质来求解Z的分布。
我们知道正态分布的线性组合仍然服从正态分布。因此，Z = 2X 3Y也服从正态分布。
接下来，我们需要求出Z的期望和方差。
E(Z) = E(2X 3Y) = 2E(X) 3E(Y)
E(X) = 1，E(Y) = 2
E(Z) = 2 1 3 2 = 2 6 = -4
接下来，我们求Z的方差：
Var(Z) = Var(2X 3Y) = 4Var(X) + 9Var(Y)
Var(X) = 4，Var(Y) = 9
Var(Z) = 4 4 + 9 9 = 16 + 81 = 97
因此，Z的分布为N(-4, 97)。