考研数学矩阵秩的核心考点与实战技巧

矩阵秩的常见问题解析

矩阵的秩是考研数学线性代数部分的重要考点，也是很多同学容易混淆的概念。下面我们通过几个典型问题，帮助你彻底搞懂矩阵秩的核心知识点。

问题1：如何理解矩阵的秩？

矩阵的秩实际上就是矩阵中非零子式的最高阶数。简单来说，就是矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。比如一个3×3的矩阵，如果它的秩是2，那就说明这个矩阵中有两行（或两列）是线性无关的，而第三行（或第三列）可以由前两行（或两列）线性表示。

计算矩阵秩的方法主要有两种：一是通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，此时非零行的数量就是矩阵的秩；二是计算所有可能的子式，找到最大的非零子式的阶数。不过对于考研来说，掌握初等行变换法通常更高效。

问题2：矩阵秩的基本性质有哪些？

矩阵秩有几个非常重要的基本性质，掌握了这些性质，很多秩相关的题目就能迎刃而解。矩阵的秩等于其转置矩阵的秩，这是因为行向量组的线性相关性等效于列向量组的线性相关性。如果矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，那么A和B的秩相等，这个性质说明初等行变换不会改变矩阵的秩。

另外，对于两个矩阵A和B的乘积，有r(AB)≤min{r(A), r(B)