武忠祥考研数学基础篇25重点难点解析

在考研数学的备考过程中，武忠祥老师的《基础篇25》是许多考生的重要参考资料。本篇内容涵盖了高等数学的核心知识点，对于打牢基础、提升解题能力至关重要。然而，不少考生在学习过程中会遇到各种疑问，比如概念理解不透彻、解题思路不清晰等。为了帮助大家更好地掌握这些内容，我们整理了几个常见问题并给出详细解答，希望能为大家的学习提供有力支持。

问题一：如何理解“极限的保号性”？

“极限的保号性”是高等数学中的一个重要性质，它指的是：如果函数在某点附近的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近函数值也必然保持同号。具体来说，假设函数f(x)在x?的某个去心邻域内有定义，且lim(x→x?) f(x) = A，如果A > 0（或A < 0），那么必然存在一个δ > 0，使得当0 < x x? < δ时，f(x) > 0（或f(x) < 0）。这个性质在证明一些不等式或判断函数符号时非常有用。例如，当证明lim(x→2) f(x) = 5 > 0时，根据保号性，我们可以在x=2附近找到一个区间，使得f(x)始终大于零。保号性只适用于函数在该点附近的局部行为，不能直接推广到整个定义域。如果极限为零，保号性并不成立，即函数在该点附近可能正负交替或趋近于零。掌握保号性需要结合具体例子进行理解，比如通过绘制函数图像或计算具体点的函数值来加深印象。

问题二：如何判断一个函数是否连续？

函数的连续性是考研数学中的基础概念，判断一个函数是否连续主要看三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值。具体来说，假设函数f(x)在x?处有定义，且lim(x→x?) f(x)存在，如果满足f(x?) = lim(x→x?) f(x)，那么f(x)在x?处连续。如果这三个条件中有任何一个不满足，函数就在该点不连续。例如，函数f(x) = {1, x ≠ 0；0, x = 0