考研数学每日一题之函数极限解题技巧深度解析

在考研数学的备考过程中，函数极限是考生们普遍感到困惑的一个章节。它不仅考察了考生对极限基本概念的理解，还涉及到了多种解题技巧和方法的灵活运用。为了帮助考生们更好地掌握这一部分内容，我们特意准备了一系列精选问题及详细解答。这些问题覆盖了考研数学中函数极限的常见题型，通过深入浅出的讲解，帮助考生们理解解题思路，提升解题能力。下面，我们将针对几个典型问题进行详细解答，希望能为考生的备考之路提供有力支持。

问题一：求极限 lim (x→2) (x2 4) / (x 2)

这个极限问题看似简单，但实际上考察了考生对极限基本性质的理解。当直接代入x=2时，我们会得到一个不确定的形式0/0。这时，我们需要运用一些技巧来简化表达式。具体来说，我们可以通过因式分解的方式来解决这一问题。

解答：我们观察分子x2 4，这是一个差平方的形式，可以分解为(x+2)(x-2)。因此，原极限可以写为：

lim (x→2) (x2 4) / (x 2) = lim (x→2) [(x+2)(x-2)] / (x 2)

由于x→2时，x-2不为0，我们可以约去分子和分母中的(x-2)项，得到：

lim (x→2) (x+2) = 2+2 = 4

因此，原极限的值为4。通过这个问题，我们可以看到，在求解函数极限时，灵活运用因式分解等技巧是非常重要的。

问题二：求极限 lim (x→0) (sin x) / x

这个问题是考研数学中一个非常经典的极限问题，它考察了考生对三角函数极限性质的理解。这个问题看似简单，但实际上蕴含了深刻的数学思想。通过这个问题，我们可以看到，在求解函数极限时，灵活运用三角函数的性质是非常重要的。

解答：这个问题是一个常见的极限问题，其极限值为1。这个结果可以通过多种方法得到，比如通过洛必达法则或者通过三角函数的泰勒展开式。这里，我们采用洛必达法则来求解。

根据洛必达法则，当lim (x→a) f(x) = lim (x→a) g(x) = 0时，有：

lim (x→a) f(x) / g(x) = lim (x→a) f'(x) / g'(x)

在这个问题中，f(x) = sin x，g(x) = x，因此：

lim (x→0) (sin x) / x = lim (x→0) (cos x) / 1 = cos 0 = 1

因此，原极限的值为1。通过这个问题，我们可以看到，在求解函数极限时，灵活运用洛必达法则等技巧是非常重要的。

问题三：求极限 lim (x→∞) (x2 + 1) / (2x2 x + 3)

这个问题考察了考生对有理分式极限的理解。当x→∞时，分子和分母的最高次项将决定极限的值。这个问题看似复杂，但实际上可以通过一些简单的代数变形来求解。

解答：为了求解这个极限，我们可以将分子和分母的每一项都除以x的最高次幂，即x2。这样，原极限可以写为：

lim (x→∞) (x2 + 1) / (2x2 x + 3) = lim (x→∞) [(x2/x2) + (1/x2)] / [(2x2/x2) (x/x2) + (3/x2)]

简化后，得到：

lim (x→∞) (1 + 1/x2) / (2 1/x + 3/x2)

当x→∞时，1/x2、1/x和3/x2都趋近于0，因此原极限可以进一步简化为：

(1 + 0) / (2 0 + 0) = 1 / 2

因此，原极限的值为1/2。通过这个问题，我们可以看到，在求解有理分式极限时，灵活运用代数变形技巧是非常重要的。