考研数学每日一练：精选问题深度解析

考研数学备考过程中，每日一练是检验学习效果、巩固知识点的有效方式。通过精选典型问题，考生可以更直观地了解考试趋势，针对性提升解题能力。本栏目将每日更新3-5道数学考研常见问题，并附上详细解答，帮助考生在练习中查漏补缺，逐步攻克难点。内容涵盖高等数学、线性代数、概率论等多个模块，解答过程注重思路剖析和步骤规范，让考生不仅知其然，更知其所以然。

今日精选问题及解答

问题一：函数极限的计算

设函数f(x)满足lim (x→0) [(sinx f(x))/x3] = 1，求lim (x→0) [f(2x) f(x)]/x。

答案：根据题意可知，当x→0时，(sinx f(x))/x3 → 1，即sinx f(x) ≈ x3。进一步展开sinx，得到f(x) ≈ sinx x3 ≈ x x3（忽略高阶无穷小项）。因此，f(x)在x=0处可近似为线性函数f(x) ≈ x。接下来，计算[f(2x) f(x)]/x：f(2x) ≈ 2x，f(x) ≈ x，所以[f(2x) f(x)]/x ≈ (2x x)/x = 1。因此，所求极限为1。

问题二：矩阵的特征值问题

已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的特征值和特征向量。

答案：求解特征多项式det(A λI) = 0，其中I为2阶单位矩阵。具体计算为：det([[1-λ, 2], [3, 4-λ]]) = (1-λ)(4-λ) 6 = λ2 5λ 2。解方程λ2 5λ 2 = 0，得到特征值λ1 ≈ 5.414，λ2 ≈ -0.414。对于λ1，解(A λ1I)x = 0，即[[1-λ1, 2], [3, 4-λ1]]x = 0，化简后得到特征向量x1 ≈ [1, 1.414]。同理，对于λ2，解(A λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [1, -0.414]。综上，A的特征值为λ1和λ2，对应特征向量分别为x1和x2。

问题三：概率论中的条件概率

袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取两次，求第一次抽到红球且第二次抽到白球的概率。

答案：计算总的基本事件数，即从8个球中抽取2个的组合数C(8,2) = 28。第一次抽到红球的概率为5/8，此时袋中剩下4个红球和3个白球，第二次抽到白球的概率为3/7。因此，所求概率为(5/8) × (3/7) = 15/56。另一种方法是使用条件概率公式，P(第二次抽到白球第一次抽到红球) × P(第一次抽到红球) = (3/7) × (5/8) = 15/56，结果一致。