考研数学经典反例深度解析：常见误区与应对策略

考研数学中，反例是检验理解深度的重要工具。它们往往能暴露考生对概念认知的盲区，成为得分的关键瓶颈。本文精选3-5个经典反例，通过生动案例和详尽解析，帮助考生突破思维定式，掌握核心考点。内容涵盖函数连续性、级数收敛性及微分中值定理等高频考点，每个问题均附带完整解答，旨在让考生不仅知其然，更知其所以然。

问题一：函数在某点连续能否推出其在该点可导？

很多考生会想当然地认为连续函数一定可导，但事实上这是对连续性与可导性关系的典型误解。反例：函数f(x) = x在x=0处连续，但不可导。解答时需明确连续的定义（极限值等于函数值）与可导的定义（左右导数存在且相等）。具体到x，其左导数为-1，右导数为1，极限不存在，故不可导。这个反例揭示了连续性只是可导性的必要非充分条件，考生需通过几何图像（V形折线）直观理解，避免将“平滑”与“可导”划等号。

问题二：交错级数的莱布尼茨判别法何时失效？

交错级数审敛时，若满足条件：1）项的绝对值单调递减；2）极限趋于0，则必收敛。但实际应用中，考生常忽略“单调递减”的严格性。反例：级数∞∑(-1)(n+1) (n+1)/(n+2)看似满足条件，实则通项极限为1而非0，故发散。解答时需强调绝对值项的严格单调性，不能仅凭直觉判断。正确做法是：先检验lim(n→∞) a_n是否为0（若不为0直接发散），再验证单调性。这个反例提示考生，判别法条件需逐条核对，不能跳过任何细节。

问题三：微分中值定理的“区间”条件能否放宽？

罗尔定理和拉格朗日定理都要求函数在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)可导。但部分考生会尝试将闭区间换成无穷区间或非连续段。反例：函数f(x) = x(1/3)在[-1,1]上不满足罗尔定理条件，尽管它在端点处值相等。解答时需明确：1）闭区间是保证极值存在的必要条件；2）无穷区间无法定义端点函数值相等。通过绘制图像（立方根函数的C形曲线）可直观理解，避免将高等数学结论随意推广到特殊情形。