2020年考研数学二难点解析：常见问题深度剖析

2020年考研数学二考试难度较大，不少考生在备考过程中遇到了各种难题。本文将针对数量部分常见的三个问题进行详细解答，帮助考生更好地理解和掌握知识点，提升解题能力。通过对这些问题的深入分析，考生可以更清晰地认识到自己的薄弱环节，从而有针对性地进行复习。

问题一：定积分的应用难点解析

定积分在考研数学二中是一个重要的考点，很多考生在应用定积分解决实际问题时感到困惑。常见的问题包括如何正确设置积分区间、如何将实际问题转化为数学表达式等。下面我们通过一个具体例子来解析这些问题。

假设要计算由曲线y=sinx和y=cosx在[0,π/2]区间围成的面积。我们需要找到两条曲线的交点，通过解方程sinx=cosx得到x=π/4。因此，积分区间可以设置为[0,π/4]和[π/4,π/2]两个部分。接下来，我们需要分别计算这两个区间内两条曲线围成的面积，最后将它们相加。具体计算过程如下：

面积S = ∫[0,π/4](cosx sinx)dx + ∫[π/4,π/2](sinx cosx)dx

计算第一个积分：∫[0,π/4](cosx sinx)dx = (sinx + cosx)[0,π/4] = (sin(π/4) + cos(π/4)) (sin(0) + cos(0)) = √2 1

计算第二个积分：∫[π/4,π/2](sinx cosx)dx = (-cosx sinx)[π/4,π/2] = (-cos(π/2) sin(π/2)) (-cos(π/4) sin(π/4)) = -1 + √2/2

将两个积分结果相加，得到总面积S = (√2 1) + (-1 + √2/2) = √2 3/2。这就是由曲线y=sinx和y=cosx在[0,π/2]区间围成的面积。

问题二：微分方程的求解技巧

微分方程是考研数学二的另一个难点，很多考生在求解微分方程时感到无从下手。常见的问题包括如何判断微分方程的类型、如何选择合适的求解方法等。下面我们通过一个具体例子来解析这些问题。

假设要解微分方程y'' 4y = 0。我们需要判断这个微分方程的类型。通过观察可以发现，这是一个二阶线性齐次微分方程。接下来，我们需要找到该微分方程的通解。具体求解过程如下：

1. 求解特征方程：r2 4 = 0，得到特征根r1=2和r2=-2。

2. 根据特征根写出通解：y = C1e(2x) + C2e(-2x)，其中C1和C2是任意常数。

这就是微分方程y'' 4y = 0的通解。通过这个例子，我们可以看到，求解二阶线性齐次微分方程的关键在于求解特征方程，并根据特征根写出通解。

问题三：级数收敛性的判断方法

级数收敛性是考研数学二中的一个重要考点，很多考生在判断级数收敛性时感到困惑。常见的问题包括如何选择合适的收敛性判别法、如何正确应用判别法等。下面我们通过一个具体例子来解析这些问题。

假设要判断级数∑[n=1 to ∞] (n2)/(n3 + 1)的收敛性。我们需要选择合适的收敛性判别法。通过观察可以发现，这是一个正项级数，可以考虑使用比值判别法或根值判别法。这里我们选择比值判别法，具体判断过程如下：

1. 计算比值极限：lim[n→∞] (a[n+1]/a[n]) = lim[n→∞] ((n+1)2)/(n3 + 1) (n3 + 1)/(n2) = lim[n→∞] ((n+1)2)/n2 = lim[n→∞] (1 + 2/n + 1/n2) = 1

2. 根据比值判别法，当比值极限小于1时，级数收敛；当比值极限大于1时，级数发散；当比值极限等于1时，判别法失效。在这个例子中，比值极限等于1，因此比值判别法失效。

3. 由于比值判别法失效，我们需要尝试其他判别法。这里我们尝试使用比较判别法，将级数与p级数进行比较。由于(n2)/(n3 + 1) < 1/n，而∑[n=1 to ∞] (1/n)是一个发散的调和级数，因此根据比较判别法，级数∑[n=1 to ∞] (n2)/(n3 + 1)也发散。