考研数学二2020真题第4题深度解析：常见误区与解题思路

2020考研数学二第4题常见问题及解答

问题1：题目中涉及的反常积分如何正确计算？
答案：本题考查反常积分的计算方法，特别是混合型反常积分的处理。很多同学容易忽略积分区间拆分或直接套用定积分公式导致错误。正确做法是：首先将积分区间拆分为收敛区间与发散点区间，如本题需拆分为[0,1)和(1,2]两部分。对每一部分分别计算极限，如∫₀¹ln(x)ln(2-x)dx需用分部积分法，令ln(x)为u，ln(2-x)为dv，得到：
∫ln(x)ln(2-x)dx = -ln(x)·(xln(2-x)-x) + ∫(xln(2-x)+x)/x dx
注意此处需分步计算极限，避免直接带入无穷大点。最终答案需取各部分极限的代数和，而非简单相加。

问题2：三角函数项的系数如何正确处理？
答案：本题第(II)问涉及三角级数展开，部分同学因三角函数系数符号错误导致结果偏差。正确处理需注意：
1. 奇偶性分解：f(x)在[0,2π]上展开需先处理为偶函数，如f(x)=sinx可表示为f(x)=sinx·sgn(sinx)，其中sgn(x)分段为±1
2. 正余弦系数关系：根据傅里叶系数公式，a₀需单独计算，a_n和b_n需分别求和。本题易错点在于b_n系数计算时忽略正负号交替，导致展开式正负项抵消不全
3. 收敛定理应用：需验证级数在x=π处是否收敛，根据狄利克雷收敛定理，间断点处取左极限与右极限的平均值

问题3：级数求和时如何避免漏项？
答案：本题级数求和部分常见错误包括：
直接对通项求导或积分而不验证收敛性，如∫₀¹xnlnx dx需先检查x=0处是否绝对收敛
分部积分时忽略常数项，如令u=lnx时需补上积分常数
求和时未验证n→∞时的极限行为，本题需用阿贝尔变换处理部分和：
S_n = ∑_k=1ⁿu_kv_k = (∑u_k)·(∑v_k) ∑(∑u_jv_j)
正确答案需保证每一步操作在收敛域内有效，避免跨区间操作