2019考研数学一真题难点解析：数量部分常见问题深度剖析

介绍

2019年的考研数学一真题在数量关系中确实有不少考生反映难度较大，尤其是几道大题综合性强，解题思路需要灵活转换。很多同学在考后都提出了各种疑问，比如关于高数部分的积分计算技巧、线性代数中的特征值问题，以及概率统计部分的条件概率应用等。这些问题不仅关乎分数，更体现了考生对知识点的掌握深度。下面我们就选取了其中几个典型问题，结合考试特点给出详细解答，希望能帮助大家梳理思路，为后续复习提供参考。

常见问题解答

问题1：2019年数学一真题第3题的微分方程求解技巧是什么？

解答：这道题考察的是一阶线性微分方程的求解方法，题目给出了某曲线的切线斜率与曲线上点的坐标之间的关系。解决这类问题的关键在于正确识别微分方程的形式，并选择合适的方法进行求解。我们需要将题目中的几何关系转化为数学表达式，建立微分方程。根据题意，设曲线方程为y=f(x)，则在点(x,y)处的切线斜率为f'(x)。题目中给出的关系可以表示为f'(x)=某种关于x和y的表达式。接下来，我们需要将这个表达式整理成一阶线性微分方程的标准形式，即y'+p(x)y=q(x)的形式。在这一步中，要注意变量分离和积分因子的选择。对于一阶线性微分方程，常用的求解方法有两种：一是利用积分因子法，将方程两边同时乘以e∫p(x)dx，从而将方程转化为可分离变量的形式；二是直接应用通解公式y=e(-∫p(x)dx)∫q(x)e(∫p(x)dx)dx+C。在本题中，我们采用积分因子法更为简便。首先计算积分因子μ(x)=e∫p(x)dx，然后将方程两边乘以这个因子，得到(μ(x)y)'=μ(x)q(x)。接下来对两边进行积分，即可得到方程的通解。根据题目中给出的初始条件，确定任意常数C的值，从而得到特解。在求解过程中，要时刻关注方程的齐次性和非齐次性，避免因错误识别而导致的解题方向偏差。

问题2：第8题的级数敛散性判断有哪些常用方法？

解答：这道题主要考察了数项级数敛散性的判断方法，其中涉及到了正项级数、交错级数以及绝对收敛等多个概念。判断级数敛散性通常需要根据级数的具体形式选择合适的方法。对于正项级数，常用的判断方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法以及积分判别法等。比较判别法需要找到一个已知敛散性的级数作为比较对象，通过比较通项的大小关系来判断原级数的敛散性；比值判别法则是通过计算极限lim(n→∞)a(n+1)/a(n)，根据极限值的大小来确定级数的敛散性；根值判别法则是计算极限lim(n→∞)√(n)a(n)，同样根据极限值的大小进行判断；积分判别法则通过比较级数通项与某个连续函数的积分来判定级数的敛散性。对于交错级数，通常使用莱布尼茨判别法，即如果级数的通项满足绝对值单调递减且极限为0，则级数收敛。而在本题中，我们需要综合运用多种方法，比如先判断级数的绝对收敛性，再根据绝对收敛性推出原级数的敛散性。具体来说，可以先对级数的通项取绝对值，然后应用比值判别法或根值判别法判断绝对值级数的敛散性；如果绝对值级数收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛；如果绝对值级数发散，则需要进一步判断原级数是否条件收敛，这时可以尝试使用莱布尼茨判别法或其他方法。在整个判断过程中，要注意各种方法的适用条件和局限性，避免因方法选择不当而导致的错误结论。

问题3：第20题的线性代数证明题如何入手？

解答：这道题属于线性代数中的证明题，考察了矩阵的秩、向量组的线性相关性以及线性方程组解的结构等多个知识点。解决这类证明题的关键在于熟练掌握相关理论，并能够灵活运用它们。我们需要明确题目中给出的条件和要求证明的结论，然后根据这些信息选择合适的理论和方法。在本题中，题目给出了一个矩阵方程，要求证明某个向量组线性无关。我们可以从以下几个方面入手：一是利用矩阵的秩来证明向量组的线性无关性，因为向量组的秩等于其极大无关组中向量的个数，而极大无关组必然线性无关；二是利用线性方程组的解的结构来证明，因为线性无关的向量组对应的齐次线性方程组只有零解；三是利用向量组的线性相关性定义，即如果向量组中存在非零系数使得线性组合为零，则向量组线性相关，从而反证向量组线性无关。在本题的证明过程中，我们采用了综合运用矩阵的秩和线性方程组解的结构的方法。根据矩阵方程构造相应的齐次线性方程组，然后利用矩阵的初等行变换求出方程组的解的结构；接着，根据解的结构判断向量组的线性相关性；通过反证法证明原向量组线性无关。在整个证明过程中，要注意逻辑的严密性和计算的准确性，避免因逻辑跳跃或计算错误而导致的证明失败。还要注意各种理论方法的适用条件，比如矩阵的秩与向量组线性相关性的关系，以及齐次线性方程组解的结构与向量组线性相关性的关系等，只有正确理解和应用这些理论，才能顺利完成证明。