考研数学：那些让你头疼的难题，其实没那么难

介绍

考研数学确实是很多人的噩梦，不仅知识点多，而且计算量大，还容易出各种陷阱。很多同学都会遇到一些常见的难题，比如极限计算、微分方程、线性代数等等。这些问题看起来复杂，但只要掌握了正确的方法，其实并不难。本文就整理了几个考研数学中最常见的难题，并给出详细的解答，希望能帮到正在备考的你。

常见难题解答

1. 极限计算问题

极限是考研数学中的基础，但很多同学在计算复杂极限时会感到头疼。比如：

计算极限 lim(x→0) (sin x x) / (x3)

很多同学看到这个题目会直接代入，结果发现分母为0，于是开始用洛必达法则，但计算过程非常繁琐。其实，这个极限可以用泰勒展开来解决。将sin x展开到x3项，得到：

sin x = x x3/6 + o(x3)

所以：

sin x x = -x3/6 + o(x3)

代入原式：

lim(x→0) (sin x x) / (x3) = lim(x→0) (-x3/6 + o(x3)) / x3 = -1/6

这样计算是不是简单多了？所以，遇到复杂的极限问题，不要一味地用洛必达法则，有时候泰勒展开更高效。

2. 微分方程求解

微分方程是考研数学的重点，尤其是二阶常系数线性微分方程。比如：

求解微分方程 y'' 3y' + 2y = ex

这个方程的解法分为两步：先求齐次方程的通解，再求非齐次方程的特解。

齐次方程 y'' 3y' + 2y = 0 的特征方程为 r2 3r + 2 = 0，解得 r1 = 1, r2 = 2，所以齐次方程的通解为：

y_h = C1ex + C2e(2x)

非齐次方程的特解可以用待定系数法求解。因为右边是ex，所以假设特解为 y_p = Aex，代入原方程：

(Aex)'' 3(Aex)' + 2Aex = ex

解得 A = 1，所以特解为 y_p = ex

最终通解为：

y = y_h + y_p = C1ex + C2e(2x) + ex = (C1 + 1)ex + C2e(2x)

微分方程的求解关键在于掌握特征方程和待定系数法，多练习就能熟练掌握。

3. 线性代数中的向量组线性相关性

线性代数是考研数学的难点之一，向量组的线性相关性问题尤其容易让人头疼。比如：

判断向量组 α1 = (1, 2, 3), α2 = (0, 1, 2), α3 = (2, 5, 8) 是否线性相关

判断向量组线性相关性的方法有多种，这里用行列式法。将向量组写成矩阵形式：

1 0 2 2 1 5 3 2 8

计算行列式：

= 1×(1×8 5×2) 0×(2×8 5×3) + 2×(2×2 1×3) = 1×(8 10) 0 + 2×(4 3) = -2 + 2 = 0

行列式为0，所以向量组线性相关。简单来说，就是看这些向量组成的矩阵的行列式是否为0，为0就线性相关，不为0就线性无关。

学习技巧

学习考研数学，除了掌握基本的方法，还有一些技巧可以帮助你提高效率。比如：

• 多做题：数学是靠练习出来的，不要怕题海战术，但做题要有选择性，不要盲目刷题。
• 总结规律：每做一类题，都要总结规律，比如极限计算有哪些常用方法，微分方程如何快速找到特解等等。
• 理解概念：不要死记硬背公式，要理解每个概念的本质，这样才能灵活运用。
• 错题本：准备一个错题本，记录做错的题目和错误原因，定期复习，避免重复犯错。

掌握了这些方法，考研数学其实并没有那么难。只要多花时间，多练习，多总结，相信你一定能够取得好成绩！