考研数学每日一题500道：函数极限深度解析

在考研数学的备考过程中，函数极限是核心考点之一，也是许多同学容易混淆的知识点。每日一题500道系列通过精选典型问题，帮助考生系统梳理极限的计算方法、性质及应用技巧。这些问题不仅覆盖了基础概念，还深入探讨了复杂函数的极限求解，适合不同阶段的考生练习。通过反复练习，考生能够掌握极限的解题思路，提升应试能力。

常见问题解答

问题1：如何求解“x趋近于某点时，函数分母为零的极限”?

答案：当函数分母在某点趋近于零时，求解极限的关键在于通过“消零”或“洛必达法则”等方法化简。例如，对于极限 lim(x→1) (x2-1)/(x-1)，直接代入会得到0/0型未定式。此时，可以采用以下方法：
1. 因式分解：将分子分解为(x-1)(x+1)，约去分母中的(x-1)，得到lim(x→1) (x+1) = 2。
2. 洛必达法则：若无法因式分解，可对分子分母同时求导，再代入极限值。对原式求导后变为lim(x→1) (2x)，代入x=1得2。
3. 泰勒展开：对于高阶问题，可利用泰勒公式近似处理。注意，选择方法时需考虑函数的复杂度和考试时间，因式分解通常更高效。

问题2：极限lim(x→∞) (ax+b)/(cx+d)的求解技巧有哪些?

答案：这类极限属于“无穷大分式”，求解时需关注分子分母的最高次项。具体步骤如下：
1. 最高次项系数法：若a≠c，极限等于最高次项系数之比，即ax+b)/(cx+d)→a/c。例如，lim(x→∞) (3x+2)/(5x-1) = 3/5。
2. 除以最高次项：若a=c，极限为常数b/d。例如，lim(x→∞) (2x+1)/(2x+3) = 1。
3. 分母同乘倒数：对于多项式系数复杂的情况，可先变形。如lim(x→∞) (x2+x)/(2x2-3)，将分子分母同除x2，得lim(x→∞) (1+1/x)/(2-3/x2) = 1/2。
关键在于避免“直接代入”或“盲目约分”，需明确无穷大的行为模式。

问题3：极限存在与连续性有何关系？如何判断分段函数的极限?

答案：极限存在是函数连续的必要条件，但反之不成立。具体来说：
1. 连续性推极限：若函数在某点连续，则极限等于函数值。如f(x)在x=0连续，lim(x→0) f(x) = f(0)。
2. 分段函数处理：分段函数的极限需分别计算左右极限。若左右极限相等且等于函数值，则极限存在。例如，f(x) = {x2, x≤0; 2x, x>0