考研数学二公式记忆锦囊：每日一练，轻松掌握核心考点

在考研数学二的备考过程中，公式是不可或缺的基础。每天坚持复习一遍，不仅能加深记忆，还能帮助考生在考试中游刃有余。本栏目精选了3-5个常见问题，结合考研数学二公式大全，提供详细解答。内容贴近考生实际需求，语言通俗易懂，助力大家高效备考。通过每日一练，让公式不再是难点，而是你的得力助手。

问题一：定积分的换元积分法有哪些常见题型？如何应用公式？

定积分的换元积分法是考研数学二的重要考点，掌握其应用技巧能大大简化计算过程。常见的题型包括三角换元、根式换元和有理式换元等。以三角换元为例，当被积函数含有根式时，如√(a2-x2)、√(a2+x2)或√(x2-a2)，可以通过三角函数关系式进行换元。例如，对于√(a2-x2)，可令x=a sinθ，则dx=a cosθ dθ，原积分变为a2∫cos2θ dθ。应用公式时，需注意换元前后积分限的变化，以及三角函数的有界性。

具体来说，换元步骤通常包括：1）选择合适的换元公式；2）计算新变量的积分限；3）将被积函数转换为新变量形式；4）应用基本积分公式计算；5）回代原变量。以∫[0,a]√(a2-x2) dx为例，令x=a sinθ，则积分变为∫[0,π/2] a2 cos2θ dθ，利用二倍角公式可简化为a2∫(1+cos2θ)/2 dθ，最终结果为πa2/4。这种换元不仅简化了计算，还能有效处理被积函数的奇偶性和周期性特点。

问题二：不定积分的分部积分法如何选择u和dv？有哪些常见应用场景？

分部积分法是处理乘积型被积函数的不定积分常用技巧，其公式为∫u dv=uv-∫v du。选择u和dv时，通常遵循“反对幂指三”原则，即指数函数选dv，对数函数选u，三角函数和反三角函数灵活处理。例如，对于∫x sinx dx，令u=x，dv=sinx dx，则du=dx，v=-cosx，原积分变为-x cosx+∫cosx dx。选择u和dv的技巧在于让积分过程逐步简化，避免陷入更复杂的计算。

常见应用场景包括：1）被积函数为多项式与指数函数或三角函数的乘积；2）被积函数含有对数函数或反三角函数；3）通过多次分部积分消去指数或三角函数。以∫x2ex dx为例，连续应用分部积分法，最终能将问题转化为基本积分。值得注意的是，每次分部积分后，原积分的复杂度应有所降低，否则可能需要调整u和dv的选择。分部积分法常与换元法结合使用，如处理形如∫e√x dx的积分时，先令t=√x换元，再用分部积分。

问题三：洛必达法则在求极限时有哪些注意事项？如何判断适用条件？

洛必达法则是求解不定型极限的重要工具，适用于0/0或∞/∞型极限。使用时需注意：1）每次应用前必须验证是否为不定型；2）若出现非不定型结果，应停止使用；3）对于可化为不定型的乘积、幂指型极限，需先变形。判断适用条件时，主要看分子分母是否同时满足可导性和趋于同阶无穷小或无穷大。例如，∫[0,1]ln(1+x)/x dx，直接代入x=0为0/0型，可应用洛必达法则，但需先对ln(1+x)作泰勒展开简化计算。

常见误区包括：1）忽略洛必达法则的前提条件，如分子分母不可导；2）连续多次使用但未收敛；3）将其他类型极限误用洛必达法则。以∫[0,π/2]tanx/x dx为例，x=0时原式为1，非不定型，不能直接应用。正确做法是拆分为∫[0,1]tanx/x dx+∫[1,π/2]tanx/x dx，前者可用极限定义处理，后者则需换元法。洛必达法则常与等价无穷小替换结合使用，如将sinx/x替换为1，可简化计算过程。掌握这些技巧，能有效避免常见错误。

问题四：泰勒公式在函数逼近中的应用有哪些典型例子？如何确定展开点？

泰勒公式是函数逼近的核心工具，通过多项式近似替代复杂函数，常用于求极限、近似计算和证明不等式。典型例子包括：1）ex在x=0的展开用于∫[0,1]ex dx的近似；2）sinx在x=0的展开用于处理三角函数极限；3）ln(1+x)在x=0的展开用于积分换元前的简化。确定展开点时，需考虑计算便利性和误差控制，如sinx在x=π/6的展开更适用于计算sin(π/6+Δx)的近似。展开阶数的选择则取决于所需精度，阶数越高近似越准，但计算量也越大。

以∫[0,0.1]sinx/x dx为例，直接积分困难，可用sinx≈xx3/6近似，原积分≈∫[0,0.1](1x2/6) dx=0.1-0.001/18，误差小于10??。泰勒公式的应用技巧包括：1）通过复合函数展开处理分段函数；2）利用级数求和简化定积分；3）结合微分中值定理证明。特别地，当展开点为x=a时，需先对函数作变量替换t=x-a。对于高阶导数不存在的函数，如sinx，不能直接展开，需分段处理。

问题五：微分方程的求解有哪些常见类型？如何判断齐次与非齐次？

微分方程是考研数学二的常考内容，常见类型包括一阶线性、可分离变量、齐次方程和伯努利方程。判断齐次与非齐次的关键看非齐次项f(x)是否为0。例如，y'+p(x)y=f(x)为非齐次，而y'+p(x)y=0为齐次。求解时，一阶线性方程可用积分因子法，即乘以e(∫p(x)dx)；可分离变量方程通过分离变量积分求解；齐次方程则令y=uv转化为可分离变量方程。

以y'-(2/x)y=lnx为例，p(x)=-2/x，f(x)=lnx，为非齐次。积分因子为e(∫-2/x dx)=x?2，乘以原方程得x?2y' 2x?3y = x?2lnx，左边变为(yx?2)'，积分后解得y=x2(1+lnx+C)。伯努利方程通过变量替换z=y(1-n)转化为线性方程。特别地，当f(x)为指数、三角或多项式函数时，需用待定系数法求特解。高阶方程可通过降阶或寻找降阶条件处理，如y''+y=f(x)可令y'=z转化为两个一阶方程。