考研数学基础速通：常见问题精讲

考研数学基础阶段是备考的关键，但时间紧迫，如何高效过一遍常见问题？本文结合百科网风格，用简洁明了的语言解析3-5个核心问题，助你快速掌握基础知识点。每个问题均附详细答案，答案内容丰富，避免空泛，适合需要快速提升基础知识的考生。

问题一：函数极限的求解方法有哪些？

函数极限的求解是考研数学的基础，常见的方法包括直接代入法、因式分解法、有理化法、等价无穷小替换法等。具体来说，直接代入法适用于函数在极限点连续的情况；因式分解法适用于分式极限，通过约分消去零因子；有理化法适用于根式极限，通过分子分母同时乘以共轭式简化表达式；等价无穷小替换法则利用无穷小的性质简化计算。

例如，求极限 lim (x→2) (x2-4)/(x-2)，直接代入会得到0/0型未定式，此时可因式分解为 lim (x→2) (x+2)，结果为4。再如，求极限 lim (x→0) (sqrt(1+x)-1)/x，直接代入同样得到0/0型，通过有理化得到 lim (x→0) (1+x-1)/[x(sqrt(1+x)+1)]，简化后为 lim (x→0) 1/(sqrt(1+x)+1) = 1/2。等价无穷小替换法在求极限时更为高效，如利用 sin x ≈ x (x→0) 可简化计算。

问题二：定积分的计算技巧有哪些？

定积分的计算是考研数学的重点，技巧性强。主要方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法以及利用对称性简化计算等。直接积分法适用于被积函数简单的情况；换元积分法通过变量代换简化积分区间或被积表达式；分部积分法适用于两类不同函数的乘积，如三角函数与幂函数、指数函数与对数函数等；对称性法则则利用积分区间的对称性简化计算。

例如，计算定积分 ∫[0,π] sin2x dx，利用对称性可知结果为 ∫[0,π/2] sin2x dx，再通过公式 sin2x = (1-cos2x)/2，得到 ∫[0,π/2] (1-cos2x)/2 dx = (π/2 0)/2 = π/4。换元积分法如计算 ∫[0,1] sqrt(1-x2) dx，令 x = sinθ，则 dx = cosθ dθ，积分区间变为 [0,π/2]，结果为 ∫[0,π/2] cos2θ dθ = (π/4)。

问题三：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研数学的难点，常见判别方法包括正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，以及交错级数的莱布尼茨判别法等。正项级数中，比较判别法通过与已知收敛或发散的级数比较判断；比值判别法利用相邻项比值极限判断；根值判别法通过项的n次方根极限判断。交错级数则通过莱布尼茨判别法，即项的绝对值单调递减且趋于零来判断。

例如，判断级数 ∑[n=1,∞] (n+1)/(2n2+1) 的收敛性，可用比较判别法，将其与 p级数 1/np 比较，由于 (n+1)/(2n2+1) ≈ 1/(2n2) (n→∞)，而 ∑ 1/n2 收敛，故原级数收敛。比值判别法如级数 ∑ [n=1,∞] (2n)/(n!)，计算 lim (n→∞) (2(n+1)/(n+1)!)/(2n/n!) = lim (n→∞) 2/(n+1) = 0，小于1，故收敛。交错级数如 ∑ (-1)n (1/n)，由于 1/n 单调递减且趋于零，根据莱布尼茨判别法，级数收敛。