考研数学中函数与极限证明题的常见难点及突破方法

在考研数学的复习过程中，函数与极限证明题是考生普遍反映较为棘手的章节之一。这部分内容不仅涉及基础概念的理解，更考验逻辑推理和运算能力。根据历年真题分析，这类题目常出现在高等数学的第一、二章，主要围绕函数连续性、极限存在性及性质展开。要想在考试中拿到高分，考生不仅需要掌握基本定理，更要学会灵活运用各种证明技巧。下面我们精选了几个典型问题，并给出详细解答，帮助大家攻克这一难点。

问题一：如何证明函数在某点连续？

函数在某点连续的证明是考研中的高频考点，通常需要验证三个条件：左极限等于右极限、极限等于函数值。很多同学容易忽略左极限和右极限的单独考察，导致证明不完整。下面以具体例子说明。

【例题】证明函数f(x) = x2在x=2处连续。

【解答】要证明f(x)在x=2处连续，需验证以下三点：

由于以上三点均满足，因此f(x)在x=2处连续。值得注意的是，对于分段函数，还需额外验证分段点处的左右极限是否相等。

问题二：极限存在性的证明有哪些常用方法？

极限存在性的证明在考研中占有重要地位，常用的方法包括夹逼定理、ε-δ语言定义以及单调有界准则。每种方法都有其适用场景，考生需根据具体题目灵活选择。

【例题】证明lim(x→0) (sin x)/x = 1

【解答】此题可使用夹逼定理证明：

通过上述步骤，可以严格证明该极限存在且等于1。对于数列极限，单调有界准则更为有效，需要考生根据题目特点灵活选用。

问题三：如何证明函数的一致连续性？

函数的一致连续性是考研中的难点，常与闭区间上连续函数性质结合考查。证明一致连续性时，ε-δ语言是关键工具，考生需特别注意δ与x无关的性质。

【例题】证明函数f(x) = √(1+x2)在[0, +∞)上的一致连续性。

【解答】对于任意ε>0，要使f(x) f(y) < ε对所有x, y∈[0, +∞)成立，考虑：

因此，函数在[0, +∞)上一致连续。对于开区间，结论可能不成立，需结合区间端点特性分析。