张宇考研数学经典习题疑难解析与深度讲解

在考研数学的备考过程中，张宇老师的习题以其独特的难度和深度备受考生关注。许多同学在练习时常常会遇到各种困惑，比如解题思路卡壳、概念理解模糊或是计算易错。为了帮助大家更好地攻克这些难题，本栏目将精选张宇考研数学习题中的典型问题，通过详细的解析和步骤，带领大家深入理解解题技巧和数学本质。无论是初学者还是有一定基础的考生，都能在这里找到针对性的帮助，提升解题能力和应试水平。

习题一：极限计算中的不定式处理问题

在张宇的考研数学习题中，有一道关于极限计算的题目让很多同学感到头疼。题目是这样的：求极限 lim (x→0) (sin x / x) (1 / (1 cos x))。很多同学在计算过程中容易混淆分母和分子的处理顺序，导致最终结果错误。

其实，这道题的关键在于正确运用极限的性质和三角函数的等价无穷小。我们知道当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 是等价无穷小，所以 sin x / x 趋近于 1。接着，我们来看分母 1 cos x，根据三角函数的泰勒展开，1 cos x 可以近似为 x2 / 2。因此，整个极限可以化简为：

lim (x→0) (sin x / x) (1 / (1 cos x)) = lim (x→0) 1 (1 / (x2 / 2)) = lim (x→0) 2 / x2 = 2。

这里很多同学容易忽略分母的倒数处理，直接将 1 cos x 看作是 0 导致计算中断。正确理解等价无穷小的概念和灵活运用极限性质是解决这类问题的关键。

习题二：多元函数求导中的隐函数求导问题

张宇老师的一道多元函数求导习题也颇具挑战性：已知 z = x2 + y2，且 x = sin t，y = cos t，求全导数 dz/dt。这道题的难点在于需要同时考虑 z 对 x 和 y 的偏导数，以及 x 和 y 对 t 的导数。

我们计算 z 对 x 和 y 的偏导数：?z/?x = 2x，?z/?y = 2y。然后，计算 x 和 y 对 t 的导数：dx/dt = cos t，dy/dt = -sin t。根据链式法则，全导数 dz/dt 可以表示为：

dz/dt = ?z/?x dx/dt + ?z/?y dy/dt = 2x cos t + 2y (-sin t) = 2sin t cos t 2cos t sin t = 0。

这里很多同学容易忽略对参数 t 的链式法则应用，直接将 x 和 y 代入 z 中再求导，导致计算过程复杂且容易出错。正确理解链式法则的适用条件和应用步骤是解决这类问题的关键。

习题三：积分计算中的换元法应用问题

在张宇的考研数学习题中，积分计算是另一大难点。一道典型的题目是：计算定积分 ∫(0→1) x sqrt(1 x2) dx。这道题的关键在于选择合适的换元方法，很多同学在尝试直接积分时会遇到困难。

这里我们可以采用三角换元法，令 x = sin θ，那么 dx = cos θ dθ。当 x 从 0 变到 1 时，θ 从 0 变到 π/2。因此，原积分可以转化为：

∫(0→1) x sqrt(1 x2) dx = ∫(0→π/2) sin θ sqrt(1 sin2 θ) cos θ dθ = ∫(0→π/2) sin θ cos2 θ dθ。

接下来，我们可以继续换元，令 u = cos θ，那么 du = -sin θ dθ。当 θ 从 0 变到 π/2 时，u 从 1 变到 0。因此，积分变为：

∫(1→0) -u2 du = ∫(0→1) u2 du = [u3/3] (0→1) = 1/3。

这里很多同学在换元后容易忽略积分限的调整，导致最终结果错误。正确理解换元法的步骤和积分限的对应关系是解决这类问题的关键。