武忠祥考研数学每日一练之概率论精选问题解析

在考研数学的备考过程中，概率论与数理统计部分往往是考生们的难点。武忠祥老师的每日一练系列，通过精心设计的题目，帮助考生们逐步攻克这一难关。本篇内容将针对数量3-5道典型问题进行详细解答，旨在帮助考生们理解解题思路，掌握核心考点，提升应试能力。以下是具体问题的解答与解析。

问题一：随机事件独立性判断与概率计算

在考研数学中，随机事件的独立性是概率论的核心概念之一。考生们常常在判断事件独立性以及基于独立性进行概率计算时遇到困难。例如，设有三个事件A、B、C，已知P(A)=0.5，P(BA)=0.6，P(A∪B)=0.8，问事件A与B是否独立？若独立，求P(CA∪B)。

解答：根据概率的加法公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)。代入已知条件，0.8 = 0.5 + P(B) P(A)P(B)，解得P(B) = 0.7。由于P(A)P(B) = 0.5×0.7 = 0.35 ≠ P(A∩B)，因此A与B不独立。接下来，求P(CA∪B)，需要更多的信息，如P(C)和P(CA)、P(CB)等。

问题二：条件概率与全概率公式应用

条件概率与全概率公式是概率论中的重要工具，常用于复杂事件的概率计算。例如，某公交线路有3个站点，乘客在任意站点下车的概率相等。若甲、乙两人分别在这条线上等车，且甲已等了3分钟，求乙也在等车的概率。

解答：由于站点下车的概率相等，每个站点下车的概率为1/3。甲已等了3分钟，说明甲未在第一个站点下车，因此乙在任意站点下车的概率仍为1/3。利用全概率公式，乙在等车的概率为P(乙等车) = ΣP(乙在i站点下车甲在i站点下车)P(甲在i站点下车)，即1/3。

问题三：贝叶斯公式在诊断中的应用

贝叶斯公式在医学诊断、故障检测等领域有广泛应用。例如，某种疾病的患病率为1%，通过检测手段的准确率分别为99%（真阳性率）和95%（真阴性率），求一个检测阳性的人确实患病的概率。

解答：设事件D表示患病，事件T表示检测阳性。根据贝叶斯公式，P(DT) = P(TD)P(D) / P(T)。其中，P(TD) = 0.99，P(D) = 0.01，P(T) = P(TD)P(D) + P(T?D)P(?D) = 0.99×0.01 + 0.05×0.99 = 0.0594。因此，P(DT) = 0.99×0.01 / 0.0594 ≈ 0.168。也就是说，检测阳性的人确实患病的概率约为16.8%。