张宇考研数学内部课重点难点深度解析

在考研数学的备考过程中，许多同学会遇到各种各样的问题，尤其是跟随张宇老师的内部课程后，一些细节和难点更需要深入理解。本栏目精选了5个张宇考研数学内部课上的常见问题，并提供了详尽的解答。这些问题涵盖了高数、线代、概率等多个模块，旨在帮助同学们更好地掌握核心知识点，突破学习瓶颈。解答部分不仅注重理论深度，还融入了张宇老师独特的教学风格，力求用通俗易懂的语言让复杂问题变得简单明了。无论你是初学者还是有一定基础的考生，都能在这里找到有价值的参考内容。

问题一：定积分的换元法中，如何正确选择换元形式？

定积分的换元法是考研数学中的重点内容，很多同学在选择换元形式时会感到困惑。其实，换元的关键在于简化积分表达式，通常有以下几种情况需要考虑：

• 被积函数中含有根式时，如√(a2-x2)，可考虑三角换元。
• 积分区间为对称区间时，可尝试奇偶函数的性质简化计算。
• 被积函数含有复合函数时，如f(sin x)，常用u=sin x的换元。

以具体例子说明：计算∫[0,π/2]sin2x dx时，若直接积分会比较复杂，但通过换元u=x-π/4，则sin x=cos(x-π/4)，积分区间变为[-π/4,π/4]，此时利用对称性可得原式=∫[-π/4,π/4]cos2u du。张宇老师强调，换元后不仅要考虑函数形式的简化，还要确保积分限的对应变化，这是很多同学容易忽略的细节。换元前后要检查雅可比行列式（即导数的绝对值）是否正确代入，避免计算错误。

问题二：如何快速判断级数的收敛性？

级数收敛性的判断是考研数学中的难点，尤其是交错级数和一般级数，需要掌握多种方法。张宇老师总结了一套“先绝对后条件”的判断流程，非常实用。

具体来说，对于级数∑a?，首先考虑绝对收敛性：若∑a?收敛，则原级数必收敛。常用的绝对收敛判别法有：

• 比值判别法：若lim(n→∞)a???/a?=l，则当l<1时绝对收敛，l>1时发散，l=1时不确定。
• 根值判别法：若lim(n→∞)a?(1/n)=l，则当l<1时绝对收敛，l>1时发散，l=1时不确定。

如果绝对收敛性判断不确定，再考虑条件收敛。对于交错级数∑(-1)?b?（b?>0），可用莱布尼茨判别法：若b?单调递减且lim(b?)=0，则级数收敛。但要注意，条件收敛的级数不具有绝对收敛的“保号性”，即正项和负项的绝对值之和可能发散。张宇老师特别提醒，判断级数时不能随意套用方法，要结合级数的具体形式选择最合适的方法，比如对于p-级数∑(1/np)，当p>1时收敛，p≤1时发散，这是一个基础但易错的知识点。