张宇26考研第五讲基础习题精练难点突破与核心考点解析

在考研数学的备考过程中，基础习题精练是检验学习效果、巩固知识体系的重要环节。张宇老师的26考研系列课程以其独特的教学风格和深入浅出的讲解方式，深受广大考生的喜爱。第五讲基础习题精练涵盖了高数、线代、概率统计等多个模块的核心考点，不少同学在练习过程中遇到了一些困惑。为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识点，我们整理了几个常见问题并进行详细解答，希望能够为大家的备考之路提供有力支持。

常见问题解答

问题一：如何高效掌握高数中的极限计算方法？

高数中的极限计算是考研数学的重点和难点之一，很多同学在遇到复杂极限问题时感到无从下手。其实，掌握一些常用方法就能事半功倍。要注意极限的基本性质，比如极限的唯一性、局部有界性等。要学会运用洛必达法则，但要注意洛必达法则的适用条件，避免在非洛必达型极限中盲目使用。等价无穷小替换、变量代换等方法也非常实用。以一道典型题目为例，比如求极限 lim (x→0) (sin x x) / x2，很多同学会直接套用洛必达法则，但这样计算会非常繁琐。正确的方法是先用等价无穷小替换，sin x ≈ x x3/6，然后代入原式得到 lim (x→0) (-x3/6) / x2 = -1/6，这样计算起来就简单多了。因此，大家在练习过程中要多总结、多归纳，形成自己的解题思路。

问题二：线代中的向量组线性相关性如何判断？

向量组的线性相关性是线性代数中的核心概念，也是考研数学的常考点。不少同学在判断向量组是否线性相关时容易混淆，导致计算错误。其实，判断向量组线性相关性的关键在于理解其定义：如果存在不全为零的数k?, k?, ..., k?，使得k?v? + k?v? + ... + k?v? = 0，则向量组线性相关；否则线性无关。具体方法主要有两种：一是定义法，通过解方程组判断是否存在非零解；二是行列式法，当向量组维数与向量个数相等时，可以计算向量组构成的矩阵的行列式，若行列式为零则线性相关，否则线性无关。比如对于向量组(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)，可以构成矩阵[[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]]，计算其行列式发现为0，因此该向量组线性相关。但要注意，当向量组维数不等于向量个数时，这两种方法就不适用了，需要考虑其他方法，比如通过观察向量间是否存在倍数关系来判断。

问题三：概率统计中的大数定律和中心极限定理有何区别？

大数定律和中心极限定理是概率统计中的重要理论，很多同学容易将两者混淆。其实，它们解决的问题不同，适用场景也不同。大数定律主要解决的是频率稳定性问题，即当试验次数n足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近。常见的有大数定律的几种形式，比如切比雪夫大数定律、伯努利大数定律等。而中心极限定理则关注的是随机变量之和的分布问题，当随机变量个数足够多时，其和近似服从正态分布。中心极限定理有多个版本，最常用的是独立同分布的中心极限定理，它告诉我们无论原始分布如何，当样本量足够大时，样本均值的分布都近似正态分布。以一个例子来说明区别：比如掷一枚不均匀的硬币100次，用大数定律可以推断正面朝上的次数会接近50次（概率为0.5）；而用中心极限定理可以推断正面朝上的次数近似服从正态分布N(50, 52)，这样就可以计算正面朝上次数在45到55之间的概率。因此，大家在学习时要明确两者的适用条件和解决的问题，避免混淆。