考研数学练习册1000题精华解析与技巧分享

在考研数学的备考过程中，练习册是不可或缺的工具。尤其是《考研数学练习册1000题》，它涵盖了大量的常见问题，是考生提升解题能力的重要资源。为了帮助大家更好地理解和掌握这些题目，我们特意整理了其中的几道典型问题，并提供了详细的解答和解析。这些问题不仅涉及基础知识的考察，还包括了部分难题和易错题，希望能够帮助考生在备考中少走弯路，更加高效地提升自己的数学水平。

问题精选与解析

问题1：函数极限的计算

题目：计算极限 lim (x→0) (sin(x2) / x2)。

解答：我们注意到这是一个典型的“0/0”型极限问题。对于这类问题，我们可以尝试使用洛必达法则或者等价无穷小替换来求解。在这里，我们选择使用等价无穷小替换的方法。

我们知道，当x趋近于0时，sin(x2)和x2是等价无穷小，即sin(x2) ≈ x2。因此，原极限可以简化为：

lim (x→0) (sin(x2) / x2) ≈ lim (x→0) (x2 / x2) = 1。

所以，lim (x→0) (sin(x2) / x2) = 1。

问题2：定积分的计算

题目：计算定积分 ∫(0→1) (x2 (1-x)3) dx。

解答：对于这个定积分问题，我们可以使用换元法或者直接展开积分式的方法来求解。在这里，我们选择展开积分式的方法。

我们将(1-x)3展开，得到：

(1-x)3 = 1 3x + 3x2 x3。

因此，原积分可以写为：

∫(0→1) (x2 (1-x)3) dx = ∫(0→1) (x2 3x3 + 3x4 x5) dx。

接下来，我们对每一项分别进行积分：

∫(0→1) x2 dx = 1/3，

∫(0→1) (-3x3) dx = -3/4，

∫(0→1) 3x4 dx = 3/5，

∫(0→1) (-x5) dx = -1/6。

将这些结果相加，得到：

1/3 3/4 + 3/5 1/6 = 7/20。

所以，∫(0→1) (x2 (1-x)3) dx = 7/20。

问题3：级数的收敛性判断

题目：判断级数 ∑(n=1→∞) (1 / (n2 + n)) 的收敛性。

解答：对于这个级数问题，我们可以使用比较判别法或者比值判别法来判断其收敛性。在这里，我们选择使用比较判别法。

我们将级数的通项写为：

a_n = 1 / (n2 + n)。

我们可以将其与一个已知的收敛级数进行比较。注意到，当n较大时，n2 + n ≈ n2，因此：

a_n ≈ 1 / n2。

我们知道，级数 ∑(n=1→∞) (1 / n2) 是一个p-级数，且p=2>1，因此它是收敛的。

根据比较判别法，如果存在一个常数C>0，使得对于所有的n，都有a_n ≤ C (1 / n2)，那么原级数也是收敛的。

在这里，我们可以取C=2，因为对于所有的n，都有：

1 / (n2 + n) ≤ 2 / n2。

因此，级数 ∑(n=1→∞) (1 / (n2 + n)) 也是收敛的。