考研学霸笔记：视频讲解带你攻克高数难点

考研数学的高数部分是很多同学的痛点，但别担心！我们精心制作的“考研学霸笔记”系列视频讲解，将通过生动形象的案例分析，帮你彻底搞懂那些让人头疼的知识点。无论你是基础薄弱还是想要拔高，这套笔记都能满足你的需求。跟着学霸一起学习，你会发现高数其实也没那么难！

常见问题解答

问题一：定积分的计算技巧有哪些？

定积分的计算是考研数学中的高频考点，很多同学在这一部分容易丢分。其实，定积分的计算技巧主要分为三大类：第一，利用基本公式和定理直接计算，比如牛顿-莱布尼茨公式；第二，通过换元法简化积分式，常见的换元方法有三角换元、倒代换等；第三，利用分部积分法处理乘积形式的函数。举个例子，比如计算∫₀¹xe^xdx，就可以用分部积分法，令u=x，dv=e^xdx，这样原积分就转化为xe^x的积分减去∫₀¹e^xdx。再比如遇到根式积分，常用的方法是三角换元，比如∫₀¹√(1-x²)dx，就可以令x=sinθ，这样原积分就变成了∫₀^π/2cos²θdθ，用二倍角公式计算会更简单。掌握这些技巧，定积分的计算就会变得得心应手。

问题二：如何快速判断函数的连续性和可导性？

函数的连续性和可导性是考研数学中的基础考点，但很多同学在判断时会感到困惑。其实，判断连续性主要看三个条件：第一，函数在该点有定义；第二，左右极限存在且相等；第三，函数值等于极限值。比如判断f(x)=x在x=0处的连续性，虽然绝对值函数在x=0处不可导，但它是连续的，因为左右极限都等于0，且f(0)=0。判断可导性则更简单，只要看函数在该点是否存在导数。对于分段函数，要特别注意分段点处的可导性，需要分别计算左右导数。比如f(x)=x²sin(1/x)（x≠0），在x=0处不可导，因为当x趋近于0时，函数值的变化率趋于无穷大。记住，对于初等函数，基本都在其定义域内连续可导；对于分段函数，一定要单独考虑分段点。

问题三：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研数学中的难点，但只要掌握方法，其实并不难。对于数项级数，常用的判别方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。比较判别法适用于正项级数，通常把要判别的级数与p-级数或几何级数比较；比值判别法适用于通项含有阶乘或指数的级数，计算lim(n→∞)a_n+1/a_n，如果小于1则收敛；根值判别法则是计算lim(n→∞)a_n^1/n，原理与比值判别法类似。对于幂级数，收敛半径的计算是关键，公式为R=1/lim(n→∞)a_n^1/n。比如计算级数∑(n=1 to ∞)(x²ⁿ/n!)的收敛域，可以先求收敛半径R=1/lim(n→∞)(2n+2)/(n+1)^1/n=1/e，所以收敛域为(-e,e)。记住，不同类型的级数要选择不同的判别方法，这样才能事半功倍。