考研数学核心考点速查指南

考研数学备考的核心在于抓住重点、突破难点。本指南以精简版笔记形式，聚焦常考易错问题，通过典型例题解析，帮助考生快速掌握解题思路。内容涵盖高数、线代、概率三大模块，注重方法总结与技巧点拨，避免冗长理论，让复习更高效。无论你是基础薄弱还是冲刺阶段，都能从中找到针对性突破方案。所有问题均来自历年真题高频考点，答案详尽且通俗易懂，适合碎片化时间查阅，助你轻松应对考试。

问题1：定积分的换元积分法中，如何正确选择换元形式？

定积分的换元积分法是考研数学中的高频考点，但很多同学容易在换元过程中出错。换元时要确保积分区间与新的变量区间一一对应，比如用三角换元时，要注意正弦、余弦函数的符号变化。原积分的上下限要同步改变，不能只改一边。以∫₀¹√(1-x2)dx为例，若用x=cos t换元，则积分区间从0到1对应t从π/2到0，记得在计算后反代回原变量。特别要注意的是，换元后积分式中的dx要换成新变量的微分，如dx=-sin t dt。若被积函数含有绝对值，换元前需先分段处理，否则容易忽略绝对值带来的符号变化。换元后若积分区间变为无穷大，则需结合广义积分方法处理，切忌盲目套用常规定积分公式。

问题2：级数收敛性判别时，比值法与根值法的适用场景有何区别？

比值法（lim(n→∞)a_n+1/a_n）和根值法（lim(n→∞)a_nⁿ）是判别正项级数收敛性的两大利器，但适用场景不同。比值法更适用于相邻项存在明显倍数关系的级数，比如含有阶乘或连乘形式的项。以∑(n→∞)(n!/(2n)!)为例，计算比值lim(n→∞)((n+1)!/(2(n+1)!))/((n!/(2n)!))，可得1/4<1，直接判定收敛。但若级数项为指数型如e(-n2)，比值法计算lim(n→∞)(e(-(n+1)2)/e(-n2))会陷入复杂对数运算，此时根值法更优。根值法对各项绝对值取n次方后求极限，特别适合幂指型函数，如∑(n→∞)(2n/n10)，计算lim(n→∞)(2n/n10)1/n可得2/1=2>1，判定发散。值得注意的是，若比值或根值极限为1，这两种方法均失效，需改用比较法或积分判别法。对于交错级数，这两种方法完全无效，必须借助莱布尼茨判别法。

问题3：多元函数求偏导时，如何处理复合函数的链式法则？

多元函数求偏导是考研数学的难点，复合函数的链式法则尤其容易出错。要明确函数的复合层次，画出变量关系图才能理清思路。以z=f(u,v), u=g(x,y)为例，求?z/?x时，先对f对u求偏导，再对g对x求偏导，最后相乘：?z/?x=?f/?u·?u/?x。关键在于“中间变量对自变量求偏导”的顺序不能颠倒。若涉及三元复合如z=f(u,v), u=g(x,y), v=h(x,y)，求?2z/?x?y时，需先对x求偏导，再对y求导，且每次都要重新梳理复合关系。特别提醒：若某变量同时出现在多个函数中，如z=f(x,y), x=g(t), y=h(t)，此时求全导数?z/?t，公式变为?z/?t=?f/?x·?x/?t+?f/?y·?y/?t，不能遗漏任何一条传导路径。混合偏导的对称性（克莱罗定理）在考研中常被考查，需验证连续性条件是否满足。最易错点在于符号混淆，建议用“输出变量→中间变量→输入变量”的逆向思维记忆链式法则，避免漏项或方向性错误。