数学专业考研核心问题深度解析

数学专业考研不仅考察考生的基础知识掌握程度，更注重逻辑思维与解题能力的综合体现。历年真题中，常微分方程、实变函数和抽象代数等领域的题目尤为突出。本文精选3-5道典型问题，结合百科网风格，以问答形式深入剖析解题思路与技巧，帮助考生突破重难点，提升应试水平。内容涵盖理论推导、计算方法和实际应用，力求解答详尽且通俗易懂。

问题一：常微分方程的解法与性质分析

问：设函数y=f(x)满足微分方程y''+4y=0，且初始条件为y(0)=2，y'(0)=-4，求该方程的通解并验证初始条件。

答：解该二阶齐次线性微分方程，特征方程为r2+4=0，解得r?=2i，r?=-2i。根据特征根，通解为y=C?cos(2x)+C?sin(2x)。带入初始条件y(0)=2，得C?=2；由y'(x)=-2C?sin(2x)+2C?cos(2x)，带入y'(0)=-4，得C?=-2。因此特解为y=2cos(2x)-2sin(2x)。进一步验证，求导后代入原方程，左边=4[-sin(2x)+cos(2x)]=右边，初始条件也完全满足。此题考查了特征根法、三角函数性质及方程验证等核心知识点，解题关键在于准确分离常数并利用三角恒等式。

问题二：实变函数的可积性判定

问：证明函数f(x)=x2sin(1/x)在(0,1]上黎曼可积，但非勒贝格可积。

答：首先证明黎曼可积性。由于f(x)在(0,1]上连续，除x=0处外处处有定义，且在[ε,1]上连续函数必可积。对任意ε>0，区间(0,ε]上f(x)有界且只有有限个间断点（x=0处跳跃间断），因此f(x)在(0,1]上黎曼可积。再讨论勒贝格可积性，计算f(x)在(0,1]上的勒贝格积分：∫?1x2sin(1/x)dx=-cos(1)+1。但若考虑f(x)在(0,1]上的勒贝格可积性，需验证∫?1f(x)dx<∞。由于f(x)=x2sin(1/x)≤x2，而∫?1x2dx=1/3<∞，看似可积。但问题在于f(x)在(0,1]上不是绝对连续函数，其不满足勒贝格可积的充分条件——函数平方可积。具体分析可知，当x→0时，f(x)的振幅不趋于零，导致勒贝格积分发散。此题揭示了黎曼可积与勒贝格可积的差别，关键在于理解两类积分对函数间断性的不同要求。

问题三：抽象代数中的群论问题

问：证明对称群S?的子群{e,(12)