2018年考研数学二真题难点解析与易错点汇总

2018年的考研数学二真题在考查范围和难度上都有一定的特点，不少考生在作答时遇到了各种各样的问题。本文将结合真题内容，分析几个常见的难点，并提供详细的解答思路，帮助考生更好地理解考点，避免类似错误。

常见问题解答

问题一：关于函数零点存在性的证明问题

在2018年数学二真题中，有一道大题考查了函数零点存在性的证明。很多考生在解决这个问题时，往往忽略了零点存在性定理的适用条件，导致证明过程不完整或逻辑混乱。其实，这类问题需要考生熟练掌握介值定理和连续函数的性质，同时注意验证定理所需的条件是否满足。

解答这类问题时，首先需要确定函数在给定区间上的连续性，然后通过计算函数在区间端点的值来确定是否存在符号变化。如果存在符号变化，根据介值定理，可以断定在该区间内至少存在一个零点。考生还需要注意，有时候需要结合导数的性质来进一步缩小零点的范围，比如通过判断函数的单调性来确定零点的唯一性。

问题二：关于定积分的计算与证明问题

定积分的计算是数学二真题中的常见考点，但很多考生在处理复杂定积分时，往往因为计算不仔细或方法选择不当而失分。例如，2018年真题中有一道题要求计算一个涉及三角函数的定积分，很多考生在处理三角函数的周期性和对称性时出现了错误。

解答这类问题时，首先需要观察被积函数的特点，判断是否可以利用对称性或周期性简化计算。比如，如果被积函数是奇函数且积分区间关于原点对称，可以直接得出积分结果为零。考生还需要熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法，根据被积函数的形式选择合适的方法进行计算。在计算过程中，注意细节，避免因为小数点或符号错误导致最终结果不准确。

问题三：关于微分方程的应用问题

微分方程的应用是数学二真题中的另一大难点，很多考生在解决这类问题时，往往因为对实际问题的理解不够深入或数学建模能力不足而无法正确解答。例如，2018年真题中有一道题要求根据实际问题建立微分方程并求解，很多考生在建立方程时出现了错误。

解答这类问题时，首先需要仔细阅读题目，理解实际问题的背景和条件，然后根据问题的物理意义或几何意义建立相应的微分方程。比如，如果问题涉及物体的运动，可以根据牛顿第二定律建立微分方程；如果问题涉及人口增长或放射性衰变，可以根据相关定律建立微分方程。建立方程后，需要根据初始条件求解微分方程，注意在求解过程中，要检查解的合理性，确保解符合实际问题的背景。