2020考研数学二备考热点难点解析

2020年考研数学二的备考过程中，考生们常常会遇到一些共性的难题和疑惑。这些问题不仅涉及知识点理解，还包括解题技巧、时间分配等多个方面。为了帮助考生们更好地应对考试，我们整理了几个典型问题并给出详细解答，希望能够为大家的备考之路提供一些参考和帮助。以下内容将围绕函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学等核心考点展开，力求解答清晰、实用，贴近考生实际需求。

常见问题解答

问题一：函数与极限部分如何快速掌握？

函数与极限是考研数学二的基础，也是很多考生的难点所在。我们要明确函数的基本概念，比如定义域、值域、奇偶性、单调性等，这些是理解极限的基础。极限的计算是重点，常用的方法有代入法、因式分解法、有理化法、重要极限法等。比如，当遇到“lim (x→2) (x2-4)/(x-2)”这样的题目时，很多学生会直接代入导致分母为0，这时就需要通过因式分解化简，即“(x+2)(x-2)/(x-2)”，最终得到极限值为4。再比如，对于“lim (x→0) (sin x)/x”这类题目，直接代入也会出现0/0的形式，这时就可以应用重要极限公式，结果为1。还需要掌握极限的保号性、夹逼定理等性质，这些在解决复杂极限问题时非常有用。建议考生多做练习，总结不同类型极限的解题思路，形成自己的解题体系。

问题二：一元函数微分学中的导数应用如何突破？

一元函数微分学中的导数应用是考研数学二的另一个重要考点，主要包括求函数的单调区间、极值、最值，以及曲线的凹凸性和拐点等。解决这类问题的关键在于熟练掌握导数的几何意义和物理意义。比如，求函数的单调区间时，首先要找到导数为0或不存在的点，然后通过这些点将函数的定义域分成若干区间，再判断每个区间内导数的符号，从而确定单调性。以“f(x) = x3-3x+2”为例，先求导得到f'(x) = 3x2-3，令f'(x) = 0解得x = ±1，将x轴分成(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞)三个区间，分别测试每个区间内的导数符号，可以得出在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。对于极值和最值的求解，则需要结合函数的单调性和边界值进行分析。曲线的凹凸性和拐点可以通过二阶导数的符号来判断，二阶导数为正则凹，为负则凸，二阶导数为0且符号发生变化的点为拐点。建议考生通过绘制函数图像的方式来直观理解这些概念，这样更容易掌握解题方法。

问题三：一元函数积分学中的定积分计算技巧有哪些？

一元函数积分学中的定积分计算是考研数学二的难点之一，主要涉及换元积分法、分部积分法以及各种特殊技巧的应用。换元积分法是常用的技巧，特别是三角换元和根式换元。比如，对于“∫(1 to √3) (x)/(x2+1) dx”这样的题目，可以令x = tan t，则dx = sec2t dt，积分区间变为(0 to π/3)，原积分转化为“∫(0 to π/3) (tan t)/(sec2t) dt = ∫(0 to π/3) sin t cos t dt”，再通过二倍角公式sin 2t = 2sin t cos t化简，最终得到结果为1/2 ln 2。分部积分法也是关键，一般遵循“反对幂指三”的顺序选择u和dv，即指数函数选为u，其余选为dv。比如，“∫(0 to 1) xln x dx”可以令u = ln x，dv = x dx，则du = 1/x dx，v = x2/2，通过分部积分公式得到“x2/2 ln x ∫(0 to 1) x/2 dx = x2/2 ln x x2/4 (0 to 1) = -1/4”。还有一些特殊技巧，如周期函数的积分、被积函数为绝对值或偶次根式的积分等，都需要考生灵活运用。建议考生多做典型例题，总结不同类型积分的解题思路，形成自己的解题模板，这样在考试中才能更加得心应手。