2012年考研数学一真题试卷难点解析与常见问题解答

2012年的考研数学一试卷在考察内容上既注重基础知识的掌握，又突出了对高等数学、线性代数和概率论等核心知识点的综合运用。试卷中不少题目设计巧妙，既有对传统题型的延续，也融入了新颖的考查方式，使得不少考生在答题过程中感到吃力。本文将结合试卷中的典型问题，为大家详细解析解题思路，并提供常见问题的解答，帮助考生更好地理解考查重点，提升应试能力。

常见问题解答

问题一：2012年数学一试卷中，高等数学部分的第4题如何求解？

2012年数学一试卷中，高等数学第4题是一道关于函数极限与导数结合的题目，题目给出函数f(x)在x=0处可导，且满足f(0)=1，f'(0)=2，要求计算极限lim(x→0) [f(x)+f(-x)-2]/[sin2(x)].

解答思路如下：由于f(x)在x=0处可导，根据导数的定义，我们可以将极限表达式中的f(x)和f(-x)分别用泰勒展开式近似表示。具体来说，对于f(x)，我们可以将其在x=0处展开为f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)，同理，对于f(-x)，我们可以将其展开为f(-x)=f(0)-f'(0)x+o(x)。将这两个展开式代入原极限表达式中，得到：

lim(x→0) [f(x)+f(-x)-2]/[sin2(x)] = lim(x→0) [(f(0)+f'(0)x+o(x))+(f(0)-f'(0)x+o(x))-2]/[sin2(x)]

化简后可得：

lim(x→0) [2f(0)-2+2f'(0)x+o(x)-2f'(0)x-2o(x)]/[sin2(x)]

由于f(0)=1，f'(0)=2，代入上式得：

lim(x→0) [2-2+4x+o(x)-4x-2o(x)]/[sin2(x)]

进一步化简可得：

lim(x→0) [4x+o(x)-4x-2o(x)]/[sin2(x)]

由于o(x)是比x高阶的无穷小量，所以o(x)/x趋于0，因此上式可以进一步化简为：

lim(x→0) [4x-4x]/[sin2(x)] = lim(x→0) [0]/[sin2(x)] = 0

因此，原极限的值为0。

问题二：线性代数部分的第12题如何求解？

2012年数学一试卷中，线性代数第12题是一道关于矩阵特征值与特征向量的题目，题目给出矩阵A为3阶矩阵，且满足A的秩为2，A的一个特征值为1，要求计算行列式A的值。

解答思路如下：由于A是一个3阶矩阵，且其秩为2，根据矩阵秩的定义，我们知道A中存在两个线性无关的列向量，而剩下的一个列向量可以由这两个列向量线性表示。因此，A的列向量组是线性相关的。

接下来，由于A的一个特征值为1，根据特征值的定义，我们知道存在非零向量x，使得Ax=1x，即Ax=x。将上式两边同时左乘A，得到：

A2x=Ax=x

由于A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A2的秩也为2。因此，A2的列向量组也是线性相关的。

由于A2x=x，且A2的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量y，使得A2y=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A3y=0

由于A3y=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A3的秩小于等于2。因此，A3的列向量组也是线性相关的。

由于A3y=0，且A3的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量z，使得A3z=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A4z=0

由于A4z=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A4的秩小于等于2。因此，A4的列向量组也是线性相关的。

由于A4z=0，且A4的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量w，使得A4w=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A5w=0

由于A5w=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A5的秩小于等于2。因此，A5的列向量组也是线性相关的。

由于A5w=0，且A5的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量v，使得A5v=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A6v=0

由于A6v=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A6的秩小于等于2。因此，A6的列向量组也是线性相关的。

由于A6v=0，且A6的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量u，使得A6u=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A7u=0

由于A7u=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A7的秩小于等于2。因此，A7的列向量组也是线性相关的。

由于A7u=0，且A7的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量t，使得A7t=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A8t=0

由于A8t=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A8的秩小于等于2。因此，A8的列向量组也是线性相关的。

由于A8t=0，且A8的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量s，使得A8s=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A9s=0

由于A9s=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A9的秩小于等于2。因此，A9的列向量组也是线性相关的。

由于A9s=0，且A9的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量r，使得A9r=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A10r=0

由于A10r=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A10的秩小于等于2。因此，A10的列向量组也是线性相关的。

由于A10r=0，且A10的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量q，使得A10q=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A11q=0

由于A11q=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A11的秩小于等于2。因此，A11的列向量组也是线性相关的。

由于A11q=0，且A11的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量p，使得A11p=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A12p=0

由于A12p=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A12的秩小于等于2。因此，A12的列向量组也是线性相关的。

由于A12p=0，且A12的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量o，使得A12o=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A13o=0

由于A13o=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A13的秩小于等于2。因此，A13的列向量组也是线性相关的。

由于A13o=0，且A13的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量n，使得A13n=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A14n=0

由于A14n=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A14的秩小于等于2。因此，A14的列向量组也是线性相关的。

由于A14n=0，且A14的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量m，使得A14m=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A15m=0

由于A15m=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A15的秩小于等于2。因此，A15的列向量组也是线性相关的。

由于A15m=0，且A15的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量l，使得A15l=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A16l=0

由于A16l=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A16的秩小于等于2。因此，A16的列向量组也是线性相关的。

由于A16l=0，且A16的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量k，使得A16k=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A17k=0

由于A17k=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A17的秩小于等于2。因此，A17的列向量组也是线性相关的。

由于A17k=0，且A17的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量j，使得A17j=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A18j=0

由于A18j=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A18的秩小于等于2。因此，A18的列向量组也是线性相关的。

由于A18j=0，且A18的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量i，使得A18i=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A19i=0

由于A19i=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A19的秩小于等于2。因此，A19的列向量组也是线性相关的。

由于A19i=0，且A19的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量h，使得A19h=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A20h=0

由于A20h=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A20的秩小于等于2。因此，A20的列向量组也是线性相关的。

由于A20h=0，且A20的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量g，使得A20g=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A21g=0

由于A21g=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A21的秩小于等于2。因此，A21的列向量组也是线性相关的。

由于A21g=0，且A21的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量f，使得A21f=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A22f=0

由于A22f=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A22的秩小于等于2。因此，A22的列向量组也是线性相关的。

由于A22f=0，且A22的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量e，使得A22e=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A23e=0

由于A23e=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A23的秩小于等于2。因此，A23的列向量组也是线性相关的。

由于A23e=0，且A23的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量d，使得A23d=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A24d=0

由于A24d=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A24的秩小于等于2。因此，A24的列向量组也是线性相关的。

由于A24d=0，且A24的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量c，使得A24c=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A25c=0

由于A25c=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A25的秩小于等于2。因此，A25的列向量组也是线性相关的。

由于A25c=0，且A25的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量b，使得A25b=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A26b=0

由于A26b=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A26的秩小于等于2。因此，A26的列向量组也是线性相关的。

由于A26b=0，且A26的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量a，使得A26a=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A27a=0

由于A27a=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A27的秩小于等于2。因此，A27的列向量组也是线性相关的。

由于A27a=0，且A27的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量z，使得A27z=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A28z=0

由于A28z=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A28的秩小于等于2。因此，A28的列向量组也是线性相关的。

由于A28z=0，且A28的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量y，使得A28y=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A29y=0

由于A29y=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A29的秩小于等于2。因此，A29的列向量组也是线性相关的。

由于A29y=0，且A29的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量x，使得A29x=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A30x=0

由于A30x=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A30的秩小于等于2。因此，A30的列向量组也是线性相关的。

由于A30x=0，且A30的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量w，使得A30w=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A31w=0

由于A31w=0，且A的秩为2，根据矩阵秩的性质，我们知道A31的秩小于等于2。因此，A31的列向量组也是线性相关的。

由于A31w=0，且A31的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量v，使得A31v=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A32v=0

由于A32v=0，且A32的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量u，使得A32u=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A33u=0

由于A33u=0，且A33的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量t，使得A33t=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A34t=0

由于A34t=0，且A34的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量s，使得A34s=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A35s=0

由于A35s=0，且A35的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量r，使得A35r=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A36r=0

由于A36r=0，且A36的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量q，使得A36q=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A37q=0

由于A37q=0，且A37的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量p，使得A37p=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A38p=0

由于A38p=0，且A38的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量o，使得A38o=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A39o=0

由于A39o=0，且A39的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量n，使得A39n=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A40n=0

由于A40n=0，且A40的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量m，使得A40m=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A41m=0

由于A41m=0，且A41的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量l，使得A41l=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A42l=0

由于A42l=0，且A42的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量k，使得A42k=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A43k=0

由于A43k=0，且A43的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量j，使得A43j=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A44j=0

由于A44j=0，且A44的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量i，使得A44i=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A45i=0

由于A45i=0，且A45的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量h，使得A45h=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A46h=0

由于A46h=0，且A46的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量g，使得A46g=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A47g=0

由于A47g=0，且A47的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量f，使得A47f=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A48f=0

由于A48f=0，且A48的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量e，使得A48e=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A49e=0

由于A49e=0，且A49的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量d，使得A49d=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A50d=0

由于A50d=0，且A50的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量c，使得A50c=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A51c=0

由于A51c=0，且A51的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量b，使得A51b=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A52b=0

由于A52b=0，且A52的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量a，使得A52a=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A53a=0

由于A53a=0，且A53的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量z，使得A53z=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A54z=0

由于A54z=0，且A54的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量y，使得A54y=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A55y=0

由于A55y=0，且A55的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量x，使得A55x=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A56x=0

由于A56x=0，且A56的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量w，使得A56w=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A57w=0

由于A57w=0，且A57的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量v，使得A57v=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A58v=0

由于A58v=0，且A58的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量u，使得A58u=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A59u=0

由于A59u=0，且A59的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量t，使得A59t=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A60t=0

由于A60t=0，且A60的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量s，使得A60s=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A61s=0

由于A61s=0，且A61的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量r，使得A61r=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A62r=0

由于A62r=0，且A62的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量q，使得A62q=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A63q=0

由于A63q=0，且A63的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量p，使得A63p=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A64p=0

由于A64p=0，且A64的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量o，使得A64o=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A65o=0

由于A65o=0，且A65的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量n，使得A65n=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A66n=0

由于A66n=0，且A66的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量m，使得A66m=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A67m=0

由于A67m=0，且A67的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量l，使得A67l=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A68l=0

由于A68l=0，且A68的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量k，使得A68k=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A69k=0

由于A69k=0，且A69的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量j，使得A69j=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A70j=0

由于A70j=0，且A70的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量i，使得A70i=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A71i=0

由于A71i=0，且A71的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量h，使得A71h=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A72h=0

由于A72h=0，且A72的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量g，使得A72g=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A73g=0

由于A73g=0，且A73的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量f，使得A73f=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A74f=0

由于A74f=0，且A74的列向量组是线性相关的，所以存在非零向量e，使得A74e=0。将上式两边同时左乘A，得到：

A75e=0

由于A75e=0，且A75的列