张宇老师考研数学高频考点深度解析：数量三、数量四核心难点突破
考研数学中的数量部分一直是考生们的难点，尤其是数量三和数量四涉及的多元微积分、概率论等知识，不仅难度大，而且容易出错。张宇老师以其独特的教学风格和深入浅出的讲解方式，帮助无数考生攻克了这些难关。本栏目精选了考生们最关心的5个高频问题，从理论到应用，全方位解析数量三、数量四的核心考点，让考生们能够更加清晰地把握考试方向，提高解题效率。
问题一：多元函数的极值如何判断？
很多同学在求解多元函数的极值时容易混淆驻点、偏导数不存在的点以及实际极值点的关系。张宇老师提醒，判断多元函数的极值需要遵循以下步骤：
- 首先求出函数的所有驻点，即同时满足偏导数等于零的点。
- 然后找出偏导数不存在的点，这些点也可能是极值点。
- 最后利用二阶偏导数构成的Hessian矩阵进行正负性判断。如果Hessian矩阵在驻点处正定，则该点为极小值点；负定则为极大值点；不定则不是极值点。
举个例子，比如求解函数f(x,y) = x3 3xy + y3的极值。我们先求偏导数，得到f? = 3x2 3y，f? = 3y2 3x。令f?和f?同时为零，解得驻点为(1,1)和(0,0)。接着计算二阶偏导数，Hessian矩阵为
f?? f?? = 6x -3
f?? f?? -3 6y
在点(1,1)处，Hessian矩阵为正定，因此(1,1)是极小值点；在点(0,0)处，Hessian矩阵为不定，所以(0,0)不是极值点。这种判断方法不仅适用于二次项以上的多元函数，还可以推广到更复杂的函数形式。
问题二：概率论中全概率公式和贝叶斯公式的应用场景有何区别？
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两大重要工具，很多同学容易混淆它们的适用场景。张宇老师指出，全概率公式适用于“由小推大”的情况，即已知各个小事件的概率，推算出某个大事件的概率；而贝叶斯公式则适用于“由大推小”的情况，即已知大事件的概率，反推某个小事件的概率。
具体来说，全概率公式通常用于解决复杂事件分解的问题，比如一个病人通过两种不同的检测方法被诊断为某种疾病的概率。而贝叶斯公式则常用于条件概率的计算，比如已知一个病人检测结果为阳性，求他真正患有该疾病的概率。举一个例子，假设有三种疾病A、B、C，发病概率分别为10%、20%、30%，三种检测结果阳性的概率分别为90%、70%、60%。如果一个人检测结果为阳性，求他患有疾病A的概率。这里就可以用贝叶斯公式：
P(A阳性) = [P(阳性A)P(A)] / [P(阳性A)P(A) + P(阳性B)P(B) + P(阳性C)P(C)]
代入数据得到P(A阳性) = (0.9×0.1) / (0.9×0.1 + 0.7×0.2 + 0.6×0.3) ≈ 0.122
这个结果告诉我们，即使检测结果为阳性，真正患有疾病A的概率也只有12.2%，这体现了贝叶斯公式的强大应用价值。
问题三：如何快速判断级数的收敛性？
级数收敛性是考研数学中的重点和难点，张宇老师总结了“四步走”判断法，即首先看通项是否趋于零，然后根据项的特点选择相应的判别法，最后结合级数性质得出结论。具体来说，判断正项级数收敛性可以按照以下步骤进行：
- 第一步：看通项是否趋于零，如果不趋于零，则级数发散。
- 第二步：如果趋于零，根据通项的特点选择相应的判别法，如比值判别法、根值判别法、比较判别法等。
- 第三步：对于交错级数，可以使用莱布尼茨判别法。
- 第四步：结合级数的性质，如绝对收敛、条件收敛等，得出最终结论。
举个例子，判断级数∑(n=1 to ∞) (n+1)/(2n2+5)的收敛性。通项趋于零，因此可以继续判断。由于分母的次数高于分子的次数，可以考虑使用比较判别法。将通项与1/n(3/2)进行比较，因为(n+1)/(2n2+5) < 1/(n(3/2))对于所有n≥1都成立，而∑(n=1 to ∞) 1/n(3/2)是p级数，p=3/2>1，因此收敛。根据比较判别法，原级数也收敛。
问题四：多元函数的隐函数求导如何避免出错？
多元隐函数求导是考研数学中的常见题型，很多同学容易在符号和顺序上出错。张宇老师建议，求隐函数导数时，首先要明确自变量和因变量，然后使用全微分或隐函数定理。具体步骤如下：
- 第一步：对方程两边同时求全微分，得到关于dx、dy的方程。
- 第二步：解出dx或dy，得到导数表达式。
- 第三步：化简并代入具体数值。
举个例子，设方程x3 + y3 3axy = 0，求dy/dx。对方程两边同时求全微分，得到3x2dx + 3y2dy 3aydx 3axdy = 0。整理后得到dy/dx = (ay x2)/(y2 ax)。这个结果可以直接代入具体数值求解。在求导过程中要保持符号和顺序的正确性，避免因计算错误导致结果偏差。
问题五：如何快速求解二重积分？
二重积分是考研数学中的重点题型，求解技巧很多。张宇老师总结了“先重后轻”和“先轻后重”两种基本方法，并强调了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在简化计算中的作用。具体来说，求解二重积分可以按照以下步骤进行：
- 第一步：画出积分区域，确定积分顺序。
- 第二步：根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，通常优先选择x或y的单调区间。
- 第三步：利用对称性和奇偶性简化计算，如积分区域关于x轴或y轴对称时，可以考虑只计算一半区域。
- 第四步：代入具体数值计算。
举个例子，求解?(D) x2y dxdy，其中D是由x+y=1，x=0，y=0围成的区域。首先画出积分区域，可以看出是一个直角三角形。选择先对y积分，后对x积分，得到∫(x=0 to 1) ∫(y=0 to 1-x) x2y dy dx。计算内层积分得到x2[(1-x)3/3]，然后对外层积分，得到∫(x=0 to 1) x2(1-x)3/3 dx = 1/90。这个结果可以通过调整积分顺序或利用对称性进一步简化，但需要根据具体题目灵活选择方法。