2021年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（ ）
A. \( f(x) = \sqrt{x} \)
B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
C. \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
D. \( f(x) = \ln(x) \)
答案：C
2. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(1) = \)
A. -2
B. 2
C. 0
D. 不存在
答案：A
3. 下列矩阵中，可逆矩阵是（ ）
A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
C. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
D. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
答案：D
二、填空题
4. 若 \( \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3} \)，则 \( \int_0^1 x^3 \, dx = \)
答案：\(\frac{1}{4}\)
5. 设 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，则 \( |A| = \)
答案：2
三、解答题
6. 求函数 \( f(x) = e^x - x \) 的极值点及极值。
答案：\( f'(x) = e^x - 1 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 0 \)。当 \( x < 0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，当 \( x > 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( x = 0 \) 是极小值点，极小值为 \( f(0) = 1 \)。
7. 解线性方程组 \( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 3z = 2 \\ 3x + 3y + 4z = 3 \end{cases} \)。
答案：\( x = 0 \)，\( y = 1 \)，\( z = 0 \)。
8. 设 \( f(x) = \ln(x) \)，求 \( f''(x) \)。
答案：\( f''(x) = \frac{1}{x^2} \)。
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