2015年考研数学三高频考点深度解析与应试技巧

2015年的考研数学三考试中，不少考生反映在多项选择题和解答题中遇到了一些典型的难点。这些问题既涉及基础知识的掌握，也考验了考生的逻辑思维和计算能力。本文将结合当年考试的特点，对几个高频考点进行详细解析，并提供实用的解题技巧，帮助考生更好地应对类似问题。

问题一：概率论中的条件概率与全概率公式应用

在2015年的数学三试卷中，一道关于条件概率与全概率公式的题目让不少考生感到困惑。题目大致是：已知某城市甲、乙两种疾病的发病概率分别为0.1和0.05，两种疾病同时患上的概率为0.003。现随机抽取一人，发现其患有甲病，求此人同时患有乙病的概率。

解答：

这类问题首先要明确条件概率的定义，即P(AB) = P(A∩B) / P(B)。在本题中，我们需要求的是P(乙甲)，根据条件概率公式，可以转化为P(甲∩乙) / P(甲)。已知P(甲∩乙) = 0.003，P(甲) = 0.1，所以P(乙甲) = 0.003 / 0.1 = 0.03。

但很多考生容易误用全概率公式，试图引入更多不必要的条件。全概率公式适用于事件分解的情况，而本题直接给出了交集概率，直接使用条件概率更为简洁。考生还需注意概率的边界条件，如概率值不能超过1，不能小于0等基本性质。这类问题往往需要考生静下心来，仔细分析题目中的已知条件，避免被表面信息干扰。

问题二：数列极限与级数收敛性的判断

2015年数学三的另一道热门题目是关于数列极限与级数收敛性的综合问题。题目要求判断级数∑(n=1 to ∞) [ln(n+1) ln(n)]的收敛性，并给出证明过程。

解答：

这类问题首先要认识到∑[ln(n+1) ln(n)]是一个典型的对数差分级数。通过裂项相消法，可以发现：[ln(2) ln(1)] + [ln(3) ln(2)] + ... + [ln(n+1) ln(n)] = ln(n+1) ln(1) = ln(n+1)。

因此，原级数可以转化为判断lim(n→∞) ln(n+1)是否存在。显然，随着n趋于无穷大，ln(n+1)也趋于无穷大，所以该级数发散。值得注意的是，很多考生会误将级数与定积分混淆，试图用积分判别法解决，但实际上这是不必要的。这类问题考察的是考生对级数基本性质的理解，以及对不同方法适用条件的掌握程度。

问题三：多元函数的偏导数与极值问题

在2015年的数学三试卷中，一道关于多元函数极值求解的题目难度较大，不少考生在计算过程中出现错误。题目给出函数f(x,y) = x3 + y3 3axy，要求求出其极值点。

解答：

解决这类问题首先要找到函数的驻点，即同时满足?f/?x = 0和?f/?y = 0的点。对f(x,y)求偏导，得到：?f/?x = 3x2 3ay，?f/?y = 3y2 3ax。令这两个偏导数为0，可以得到方程组：x2 ay = 0，y2 ax = 0。

解这个方程组，可以得到四个驻点：(0,0)，(a,a)，(-a,-a)，(0,0)。对于(0,0)点，需要进一步判断是否为极值点，可以通过二阶偏导数检验。而对于(a,a)和(-a,-a)点，则需要比较Hessian矩阵的符号。具体来说，计算Hessian矩阵D = [[?2f/?x2, ?2f/?x?y], [?2f/?y?x, ?2f/?y2]]，在(a,a)点，D = [[6a, -3a], [-3a, 6a]]，其行列式为9a2，当a>0时为极小值点，当a<0时为极大值点。类似地可以分析(-a,-a)点。

这类问题不仅考察了考生对偏导数计算的掌握，还涉及了较为复杂的代数变形能力。很多考生在解方程组时容易出错，或者对二阶偏导数检验的步骤不清晰。建议考生平时多练习这类综合性较强的题目，提高计算准确性和逻辑思维能力。