张宇老师每日一题：考研数学中的极限难题如何攻克？

在考研数学的备考过程中，极限问题是许多考生感到头疼的环节。尤其是张宇老师提出的每日一题，往往蕴含着深层次的解题技巧和思维方法。今天，我们就来探讨几个典型的极限问题，看看如何通过巧妙的变形和转换，轻松化解看似复杂的极限计算。这些问题不仅能够帮助考生巩固基础，还能提升解题能力，为最终的考研数学考试打下坚实基础。

问题一：如何计算极限 lim (x→0) (sin x x) / (x3)？

这个极限问题看似简单，但很多考生在计算过程中容易陷入误区。正确的解题思路需要利用泰勒展开式，将sin x和x进行展开，然后通过分子分母的约简得到结果。具体来说，sin x的泰勒展开式为x x3/6 + o(x3)，代入原式后，分子分母同时除以x3，最终得到极限值为-1/6。这个过程中，考生需要注意泰勒展开式的使用和约简技巧，避免因为计算错误而失分。

问题二：极限 lim (x→∞) (x2 + ax + b) / (x + 1) 的值是多少？

这个极限问题考察的是考生对多项式极限的理解。当x趋于无穷大时，分子分母的最高次项将决定极限的值。因此，我们可以将分子分母同时除以x，得到(x + a + b/x) / (1 + 1/x)。随着x趋于无穷大，b/x和1/x都趋于0，最终极限值为a+1。这个过程中，考生需要掌握多项式极限的基本计算方法，避免因为忽略最高次项而得出错误结论。

问题三：如何求解极限 lim (x→0) (ex 1 x) / (x2)？

这个极限问题涉及到指数函数的展开，需要考生熟练掌握ex的泰勒展开式。ex的泰勒展开式为1 + x + x2/2 + o(x2)，代入原式后，分子分母同时除以x2，得到(1/x + 1/x2/2) / 1。随着x趋于0，1/x和1/x2/2都趋于无穷大，但1/x2/2的增速更快，因此极限值为1/2。这个过程中，考生需要注意泰勒展开式的使用和极限的计算技巧，避免因为忽略高阶项而得出错误结论。