张宇考研数学基础11讲核心知识点疑难突破

考研数学作为众多考生心中的“拦路虎”，基础阶段的理解与掌握至关重要。张宇老师的《基础11讲》以其独特的教学风格和深入浅出的讲解，帮助无数考生夯实了数学基础。然而，在学习过程中，许多考生会遇到各种疑难问题。本文将针对《基础11讲》中数量部分的常见问题进行梳理与解答，帮助考生扫清学习障碍，为后续复习打下坚实基础。内容涵盖极限、一元微积分等核心知识点，力求解答详尽且贴近考生思维，让学习过程更加顺畅高效。

问题一：如何理解极限的“ε-δ”语言定义？

极限的“ε-δ”语言定义是微积分的基石，但很多同学初次接触时会感到抽象。其实，这个定义的核心思想是“任意接近”和“总能在附近找到”。具体来说，当我们说函数f(x)当x趋近于a时的极限是L，用“ε-δ”语言表达就是：对于任意给定的正数ε（无论多小），都存在一个正数δ，使得当0小于x-a小于δ时，f(x)-L小于ε恒成立。通俗点讲，就是想让f(x)和L多接近（小于ε），就能找到一个x和a的接近程度（小于δ），使得f(x)真的能和L那么接近。这个过程需要一点想象力，但掌握了之后，对极限的理解就会更深刻。比如在证明lim (x→2) (x2-4)=0时，我们可以这样找δ：因为f(x)-L=x2-4=x+2x-2，要使这个值小于ε，我们可以先限制x-2小于1（这样x就在1和3之间），那么x+2最大就是5，于是只要取δ=min(1,ε/5)，就能保证当x-2小于δ时，x2-4小于ε。这就是“ε-δ”定义的具体应用。

问题二：求导数时，复合函数的链式法则如何灵活运用？

复合函数求导是考研数学的重点和难点，链式法则的灵活运用至关重要。链式法则的核心是“层层剥皮”，即从外到内逐层求导再乘起来。比如对于f(g(h(x)))这样的函数，我们先对最外层的f(g(h(x)))求导，得到f'(g(h(x)))，然后乘以g(h(x))对h(x)的导数g'(h(x))，最后再乘以h(x)对x的导数h'(x)。这个过程可以理解为“先对外，再对内，层层传递”。为了更好地掌握链式法则，大家可以多练习一些复合层次较多的函数，比如y=ln(sin(x2+1))，求导时可以看作y=ln(u), u=sin(v), v=x2+1，然后依次求导：y'=(1/u)·(du/dv)·(dv/dx)=(1/sin(x2+1))·cos(x2+1)·2x=2x·cot(x2+1)。多加练习后，你会发现即使函数再复杂，只要分清层次，应用链式法则就能迎刃而解。

问题三：定积分的计算技巧有哪些？

定积分的计算是考研数学中的另一大块内容，技巧性很强。基本的计算方法包括直接积分、换元积分和分部积分。直接积分就是利用基本积分公式，比如∫(x3+1)dx=x?/4+x+C。换元积分分为第一类换元（凑微分法）和第二类换元。第一类换元比如∫(x2)cos(x3+1)dx，可以令u=x3+1，du=3x2dx，原式变为(1/3)∫cos(u)du=1/3sin(u)+C，再代回x即可。第二类换元常用于被积函数含有根式的情况，比如∫(x/√(1-x2))dx，可以令x=sin(t)，dx=cos(t)dt，原式变为∫sin(t)/cos(t)cos(t)dt=∫sin(t)dt=-cos(t)+C，再代回x即可。分部积分公式∫u dv=uv-∫v du适用于被积函数是乘积形式的情况，比如∫xln(x)dx，可以令u=ln(x), dv=x dx，得到xln(x)/2-∫x/2dx=xln(x)/2-x2/4+C。除了这些基本方法，还有一些特殊技巧，比如对称区间上奇偶函数的积分可以简化计算，周期函数的积分可以利用周期性化简，被积函数含有绝对值时需要分段处理等。熟练掌握这些技巧，定积分的计算就会更加得心应手。