2015年考研数学（二）真题难点解析与典型问题解答

2015年考研数学（二）真题在考察范围和难度上都有一定的新意，不少考生在作答时遇到了不少困惑。本文将结合真题中的重点题型，针对几个常见问题进行深入解析，帮助考生理解解题思路，掌握关键考点。通过对典型问题的详细解答，考生可以更好地应对类似题目，提升应试能力。

典型问题解答

问题一：关于定积分的应用题如何求解？

在2015年数二真题中，定积分的应用题主要考查了平面图形的面积和旋转体的体积。这类问题通常需要考生先根据题意画出示意图，明确积分区域和旋转轴，然后列出相应的积分表达式。解答这类问题的关键在于正确设置积分变量和积分限，并运用定积分的几何意义简化计算过程。

例如，某题目要求计算由曲线y=sinx和y=cosx在x=0到x=π/2区间围成的图形绕x轴旋转一周的体积。解题步骤如下：

• 确定积分区间为[0, π/2]，并画出两条曲线的交点。
• 根据旋转体体积公式V=π∫[a,b][f(x)]2dx，列出积分表达式。
• 通过分段积分和三角函数的积分技巧求解。

值得注意的是，在计算过程中要注意积分变量的替换和三角函数的恒等变形，避免出现计算错误。

问题二：微分方程的求解技巧有哪些？

2015年数二真题中的微分方程部分，主要考查了一阶线性微分方程和可分离变量的微分方程。解答这类问题需要考生熟练掌握微分方程的标准形式和求解方法。对于一阶线性微分方程，通常采用积分因子法；而对于可分离变量的微分方程，则通过变量分离后逐项积分。

以某道真题为例，题目给出微分方程y'+2xy=4x，要求求解满足初始条件y(0)=1的特解。解题步骤如下：

• 将方程化为标准形式，并确定积分因子为e∫2x dx=ex。
• 将原方程两边乘以积分因子，得到ex y' + 2xy = 4xex。
• 然后，左边合并为(yex)'，右边积分得到yex = 2xex 2ex + C。
• 代入初始条件求解常数C，并写出通解表达式。

在解题过程中，考生容易忽略积分因子的求解或忘记代入初始条件，导致答案不完整。因此，要特别注意每一步的推导和计算。

问题三：空间解析几何中的直线与平面问题如何处理？

2015年数二真题中，空间解析几何部分主要考查了直线与平面的位置关系及方程求解。这类问题通常需要考生掌握向量代数的基本运算和空间几何的几何意义。解答这类问题的关键在于正确理解直线方向向量与平面法向量的关系。

例如，某题目要求判断直线L：x=1+t, y=2-t, z=3-2t与平面π：x+y+z=6的位置关系。解题步骤如下：

• 确定直线L的方向向量为向量(1, -1, -2)。
• 平面π的法向量为向量(1, 1, 1)。
• 然后，计算方向向量与法向量的点积，得到1×1+(-1)×1+(-2)×1=-2，不为0，说明直线与平面不平行。
• 将直线参数方程代入平面方程，验证是否有解，确定直线与平面相交。

值得注意的是，在判断直线与平面的位置关系时，不能仅凭方向向量的点积判断，还需验证直线上的点是否在平面上。只有同时满足两个条件，才能确定直线与平面相交。