考研数学每日一题1900题：极限与连续性难题解析
在考研数学的备考过程中，极限与连续性是考生们普遍感到棘手的部分。这些题目不仅考察基础概念，还涉及复杂的计算和逻辑推理。为了帮助考生更好地理解和掌握这一模块，我们特意挑选了三道典型问题，并提供了详细的解答思路。这些题目涵盖了极限的计算、连续性的判断以及综合应用，适合不同层次的考生进行练习和参考。
问题一：极限计算问题
问题描述：
计算极限 lim (x→0) [ (sin x)2 / x (ex 1) ]。
答案与解析：
这道题考察的是极限的基本计算方法，特别是涉及到三角函数和指数函数的组合。我们可以利用等价无穷小的性质来简化计算。当 x 趋近于 0 时，(sin x)2 等价于 x2，而 ex 1 等价于 x。因此，原式可以简化为：
lim (x→0) [ x2 / x2 ] = lim (x→0) [ 1 ] = 1。
但是，这种简化方法只适用于简单的等价无穷小替换。对于更复杂的情况，我们需要使用洛必达法则。具体来说，原式可以写成：
lim (x→0) [ (sin x)2 / x (ex 1) ] = lim (x→0) [ (sin x)2 / x2 ] lim (x→0) [ x / (ex 1) ]。
其中，第一个极限等于 1，第二个极限可以通过洛必达法则计算。对分子和分母分别求导，得到：
lim (x→0) [ x / (ex 1) ] = lim (x→0) [ 1 / ex ] = 1。
因此，原式的极限为 1 1 = 1。
问题二：连续性问题
问题描述：
判断函数 f(x) = { (x2 1) / (x 1) ，x ≠ 1； k ，x = 1 是否在 x = 1 处连续。
答案与解析：
这道题考察的是函数在一点处连续性的判断。根据连续性的定义，函数 f(x) 在 x = 1 处连续需要满足三个条件：f(1) 有定义；lim (x→1) f(x) 存在；lim (x→1) f(x) = f(1)。
对于给定的函数，f(1) = k，显然有定义。接下来，我们需要计算 lim (x→1) f(x)。当 x ≠ 1 时，f(x) = (x2 1) / (x 1) = x + 1。因此，
lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x + 1) = 2。
为了使函数在 x = 1 处连续，我们需要满足 lim (x→1) f(x) = f(1)，即 2 = k。因此，当 k = 2 时，函数在 x = 1 处连续；否则，不连续。
问题三：综合应用问题
问题描述：
设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(x) > 0。证明存在唯一的 c ∈ (a, b)，使得 a < c < b 且 f(c) = (f(a) + f(b)) / 2。
答案与解析：
这道题考察的是介值定理的应用。介值定理表明，如果一个连续函数在某个区间上的两端取值异号，那么在这个区间内存在至少一个点使得函数值为 0。我们可以通过构造一个新的函数来证明这个命题。
定义函数 g(x) = f(x) (f(a) + f(b)) / 2。显然，g(x) 在 [a, b] 上连续，因为 f(x) 是连续函数。接下来，我们需要判断 g(a) 和 g(b) 的符号。
如果 f(a) = f(b)，那么 g(a) = g(b) = 0，此时 c 可以取 a 或 b，命题显然成立。
如果 f(a) ≠ f(b)，那么 g(a) 和 g(b) 的符号必然相反。假设 g(a) > 0 且 g(b) < 0，根据介值定理，存在 c ∈ (a, b)，使得 g(c) = 0，即 f(c) = (f(a) + f(b)) / 2。
唯一性可以通过反证法证明。假设存在两个不同的点 c1 和 c2，使得 f(c1) = f(c2) = (f(a) + f(b)) / 2，那么 g(c1) = g(c2) = 0，这与 g(x) 在 (a, b) 上严格单调矛盾。因此，c 是唯一的。