考研数学《基础必备660题》核心考点精解与备考策略

《考研数学基础必备660题》是考研学子夯实数学基础的得力工具，涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大板块的常考题型与基础概念。本书通过精编题目帮助考生巩固知识点、提升解题能力，特别适合基础薄弱或需要系统梳理知识点的考生。书中题目难度适中，注重基础与综合应用的结合，配有详细解析，便于考生自学。以下选取几道典型问题进行深入剖析，助考生攻克备考难关。

问题一：高等数学中定积分的应用——求平面图形的面积

定积分在考研数学中是高频考点，尤其涉及平面图形面积的计算。这类问题往往需要考生灵活运用积分公式，并结合函数图像分析求解。

【例题】求曲线y=lnx与y=x-2所围成的平面图形的面积。

【解答】我们需要确定两条曲线的交点。令lnx=x-2，通过试探或数值方法可得交点为(x?≈0.158, y?≈-1.847)和(x?=1, y?=-1)。由于曲线在x=1处相交，我们可以将积分区间分为[0.158,1]和[1,2]两部分。在[0.158,1]区间内，lnx位于上方；在[1,2]区间内，x-2位于上方。因此，所求面积S为两个积分之差：

S=∫_0.158¹(lnx-(x-2))dx+∫₁²(x-2-lnx)dx

分别计算这两个积分：第一个积分需要用到分部积分法，第二个积分则通过基本积分公式求解。最终结果为S≈1.068。这道题的关键在于准确找到交点，并合理划分积分区间，同时熟练掌握对数函数与线性函数的积分技巧。

问题二：线性代数中向量组的线性相关性判定

向量组的线性相关性是线性代数的核心概念，常与矩阵运算、秩的计算相结合考查。考生需掌握多种判定方法，如定义法、秩法、行列式法等。

【例题】设向量组α?=(1,1,1), α?=(1,2,3), α?=(1,3,k)，求k为何值时向量组线性相关。

【解答】根据线性相关性的定义，若存在不全为零的常数c?、c?、c?，使得c?α?+c?α?+c?α?=0，则向量组线性相关。将向量组写成矩阵形式A=(α?, α?, α?)，即

A=1 1 1
1 2 3
1 k 4

通过行变换简化矩阵，可得

→1 1 1
0 1 2
0 k-1 3

若向量组线性相关，则矩阵的秩r(A)<3。当k=1时，第三行变为(0,0,0)，矩阵秩为2，此时向量组线性相关。而当k≠1时，矩阵秩为3，向量组线性无关。因此，k=1是向量组线性相关的充要条件。这道题通过矩阵的行简化计算向量组的秩，是考研中的常见解题思路，考生需熟练掌握初等行变换的操作。

问题三：概率论中条件概率与全概率公式的综合应用

条件概率与全概率公式是概率论中的重要工具，常在复杂事件概率计算中联合使用。考生需要明确两者的适用场景，并善于构建事件关系图辅助分析。

【例题】某城市甲、乙两支球队实力相当，甲队赢得比赛的概率为0.5。若甲队赢得比赛，则观众到场率为0.8；若乙队赢得比赛，则观众到场率为0.6。求观众到场的概率。

【解答】设A为甲队赢得比赛的事件，B为乙队赢得比赛的事件，C为观众到场的事件。根据题意，P(A)=0.5，P(B)=0.5，P(CA)=0.8，P(CB)=0.6。要求P(C)，可应用全概率公式：

P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CB)=0.5×0.8+0.5×0.6=0.7

这道题的关键在于正确识别样本空间和条件关系。通过构建事件树或列概率表，可以帮助考生理清复杂事件的逻辑结构。特别要注意全概率公式中各事件的完备性，即A和B构成完备事件组，确保概率的全面覆盖。