考研数学每日一题225深度解析：极限与连续性中的常见陷阱

在考研数学的备考过程中，极限与连续性是基础但又极易出错的知识点。很多同学在解题时常常因为一个小细节而全盘皆输，尤其是当题目涉及分段函数、无穷小比较或极限存在性判断时。本栏目将结合考研数学每日一题225中的典型问题，深入剖析这些常见错误及其背后的数学逻辑，帮助大家彻底掌握解题要点。

问题1：分段函数在衔接点处的极限计算误区

很多同学在处理分段函数的极限问题时，容易忽略左极限与右极限是否相等这一关键点。例如，当题目给出函数f(x)在x=0处左右定义不同时，若直接套用极限公式，可能会得到错误结论。正确做法是必须分别计算左右极限，并验证其一致性。

以考研真题中的典型例题为例，某函数在x=1处左右表达式不同，部分同学错误地认为极限存在并直接计算得到2，但实际上左极限为1，右极限为3，因此该点极限不存在。这种错误往往源于对极限定义的机械记忆，而非真正理解。

问题2：无穷小量比较中的常见错误

在考研数学中，无穷小量的比较是高频考点，但很多同学容易混淆高阶、低阶和同阶无穷小的概念。特别是在涉及抽象函数或复合函数时，若对"o"和"O"符号的理解不透彻，极易在极限计算中出错。

例如，某题目要求比较1-cos2(x)/x2与x2sin(x)的无穷小阶数，部分同学机械套用等价无穷小替换，得到两者均为x2阶，实际上前者为x?阶，后者为x?阶，因此需进一步精确计算。这种错误往往源于对极限运算法则的生搬硬套。

问题3：闭区间上连续函数性质的误用

闭区间上连续函数的性质是考研数学中的难点，很多同学容易混淆介值定理、零点定理和最值定理的适用条件。特别是在证明存在性问题时，若忽略函数在端点的取值，会导致整个论证崩盘。

以某道考研真题为例，题目要求证明方程在给定区间内有唯一实根，部分同学仅用零点定理得出存在性结论，却未排除多根的可能性。正确做法应结合导数分析，证明函数单调性。这种错误反映了部分同学对数学定理条件的机械记忆，而非深度理解。