张宇基础30讲例题解析：常见难点深度剖析

在考研数学的备考过程中，张宇基础30讲作为经典教材，其例题解析部分深受学生喜爱。然而，不少考生在学习和理解这些例题时，仍会遇到各种难点和困惑。本文将结合考研数学张宇基础30讲中的典型例题，针对3-5个常见问题进行详细解答，帮助考生更好地掌握核心知识点，提升解题能力。内容将涵盖极限、导数、积分等基础章节，力求解答详尽且通俗易懂，助力考生攻克学习中的“拦路虎”。

例题1：极限计算中的“洛必达法则”使用误区

在张宇基础30讲中，有一道关于极限计算的例题涉及洛必达法则。部分考生在解题时容易忽略该法则的使用条件，导致计算错误。

【问题】如何正确使用洛必达法则，并避免常见错误？

【解答】洛必达法则适用于“未定式”极限，即当极限形式为0/0或∞/∞时，可通过分子分母同时求导来简化计算。但值得注意的是，使用前必须验证条件：分子分母的导数存在且极限存在（或趋于无穷大）。若求导后仍为未定式，可重复使用法则，但不可随意多次应用。例如，在某一例题中，若直接对非未定式使用洛必达法则，会导致结果错误。正确做法是先化简，确认形式后再求导。考生还需警惕其他未定式形式，如0·∞、1^∞等，需转化为0/0或∞/∞后方可应用。通过多练习，结合张宇老师强调的“观察先行”思想，能有效减少此类错误。

例题2：导数定义中的“ε-δ”语言理解障碍

导数定义是考研数学的基础，但部分考生对其中的“ε-δ”语言理解不深，影响对例题的把握。

【问题】如何理解导数定义中的“ε-δ”表述，并应用于具体例题？

【解答】导数定义f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) f(x))/h的“ε-δ”语言表述为：对任意ε > 0，存在δ > 0，当h < δ时，有(f(x+h) f(x))/h f'(x) < ε。这强调极限的严格性，但实际解题时不必纠结符号细节。以张宇基础30讲某例题为例，求某分段函数在连续点的导数时，需分别从左、右极限入手，结合“ε-δ”思想验证。例如，对于f(x) = x2，其导数f'(x) = 2x，可通过任选ε后反推δ（如δ = ε/2x）验证极限过程。关键在于理解“任意小正数”的约束关系，避免将直观理解等同于极限定义。

例题3：定积分计算中的“换元法”常见陷阱

定积分的换元法是张宇基础30讲中的重点，但考生在应用时易忽略变量范围的调整。

【问题】在使用换元法计算定积分时，如何避免因变量范围错误导致的计算失误？

【解答】换元法需注意两个关键点：一是分子分母同时替换，二是积分上下限同步调整。以某例题为例，若f(x) = ∫₀¹ x2dx通过令x = t2换元，部分考生会忽略dx = 2t dt及上下限从0变为0（因t = √x），导致结果错误。正确步骤应为：换元后积分式变为∫₀¹ (t2)2·2t dt = 2∫₀¹ t? dt，上下限保持不变。张宇老师强调“换元不换限”，但前提是变量替换全程正确。换元后若出现绝对值或分段函数，需重新划分区间处理，如某例题中sin x dx通过令x = π/2 t换元时，需拆分为两部分计算。多练习类似题目，能培养严谨的解题习惯。