24考研数学二第一题常见考点及解题技巧深度解析

2024年考研数学二的第一题通常以基础概念和计算为主，但考生往往因为细节疏忽或方法不当而失分。本文将结合历年真题，深入剖析第一题的常见问题，并提供实用的解题技巧，帮助考生避免低级错误，稳拿基础分。

常见问题解答

问题1：为什么第一题总是考极限，而且容易算错？

答案：第一题考极限的原因在于极限是微积分的基础，也是后续知识的前提。考生容易算错主要有三个原因：一是对“趋近”概念理解不透彻，比如忽略了左右极限的区分；二是计算过程中符号使用混乱，导致结果错误；三是基础运算能力薄弱，如洛必达法则的适用条件判断失误。建议考生在备考时，专门针对分段函数极限、无穷小比较等典型题型进行专项练习，同时养成验算习惯。例如，若题干涉及分段点，务必分别计算左极限和右极限，并验证是否相等；若使用洛必达法则，需确认是否为“未定型”，且每一步都要严格检查分子分母的求导是否正确。

问题2：第一题若涉及函数连续性，如何快速判断？

答案：函数连续性问题在第一题中常见，考生常因混淆左连续与右连续的概念而失分。快速判断的关键在于掌握三个核心等价条件：① f(x)在x=a处连续等价于lim(x→a) f(x) = f(a)；② 极限存在且等于函数值；③ 左右极限存在且相等，并且等于函数值。实际解题时，可按照以下步骤操作：首先检查函数在x=a处是否有定义；其次分别计算左右极限，若左右极限不等或其中某一边极限不存在，则直接判定不连续；若左右极限存在且相等，再代入f(a)验证是否成立。例如，对于形如f(x) = xsin(1/x)在x=0处连续性的判断，需先确认左右极限均为0，再验证f(0)=0，从而得出结论。

问题3：第一题的导数计算题有哪些易错点？

答案：导数计算题是第一题的另一大考点，考生常在链式法则应用、隐函数求导等方面出错。典型易错点包括：① 复合函数求导时漏掉某一层次的导数，如对ln(sin x)求导时误写为cos x而非cos x/cos x；② 对抽象函数求导时未引入中间变量，导致表达式混乱；③ 隐函数求导后忘记变量分离。解题技巧在于：① 坚持按复合层次分解函数，从外到内逐层求导；② 对抽象函数可设中间变量g(x)，如f[φ(x)]' = f'[φ(x)]·φ'(x)；③ 隐函数求导后务必将y'用x表示，最后代入y=f(x)还原。以题例说明：对x2y+ey=cos x求y'时，先对两边求导得2xy'+x2y'+eyy'=?sin x，解出y'=(?sin x?eyy')/（x2+ey），最后代入原方程消去y即可。